Εφαρμογές Μαθηματικών · Γεωμετρία · Κεφ. 1 · §1.6

Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων

Θεωρία

Περίμετρος: Π′ = λ · Π

Σε δύο όμοια σχήματα F και F′ με λόγο ομοιότητας λ, κάθε πλευρά του F′ είναι λ φορές η αντίστοιχη πλευρά του F. Η περίμετρος είναι το άθροισμα όλων των πλευρών, άρα:

Π′ = λ · Π

Π είναι η περίμετρος του F, Π′ η περίμετρος του F′. Ο λόγος περιμέτρων είναι ακριβώς ο λόγος ομοιότητας:

Π′ διά Π = λ

Γρήγορος έλεγχος: η περίμετρος του F είναι 12 και λ = 2,5. Ποια είναι η περίμετρος του F′;

Εμβαδόν: γιατί Ε′ = λ² · Ε

Πάρε ένα τετράγωνο F πλευράς 2 (εμβαδόν Ε = 4) και το όμοιό του F′ με λόγο λ = 3, δηλαδή τετράγωνο πλευράς 6. Χώρισε το F′ σε τετραγωνάκια πλευράς όσο η πλευρά του F (δηλαδή 2): χωράνε 3 τετραγωνάκια στο μήκος και 3 στο πλάτος, άρα 3 · 3 = 9 τετραγωνάκια συνολικά — κάθε ένα ίσο με το F. Το εμβαδόν του F′ είναι 9 · 4 = 36, δηλαδή 3² = 9 φορές το εμβαδόν του F, όχι 3 φορές.

Γενικά, για οποιοδήποτε σχήμα:

Ε′ = λ² · Ε

Πρόβλεψε: αν κάθε πλευρά ενός σχήματος γίνει διπλάσια, το εμβαδόν του γίνεται διπλάσιο, τριπλάσιο ή τετραπλάσιο;

Συχνό λάθος: να νομίζεις ότι αφού οι πλευρές έγιναν λ φορές μεγαλύτερες, το εμβαδόν έγινε κι αυτό λ φορές μεγαλύτερο. Το εμβαδόν όμως είναι γινόμενο δύο μηκών, όχι ένα μήκος: και οι δύο διαστάσεις μεγαλώνουν κατά λ, άρα το εμβαδόν μεγαλώνει κατά λ · λ = λ². Πλευρά ×3 δίνει εμβαδόν ×9, όχι ×3.

Γιατί λ²: μέτρα τα κομματάκια

Στην εφαρμογή, το F και το F′ κόβονται στα ίδια μικρά κομματάκια, όλα ίσα μεταξύ τους. Μετρώντας πόσα κομματάκια χωράει το καθένα βλέπεις τον λόγο εμβαδών με τα μάτια, χωρίς τύπο:

• λ = 2: το F′ χωράει ακριβώς 4 αντίγραφα του F — 2 φορές στο μήκος και 2 φορές στο πλάτος, 2 · 2 = 4.
• λ = 3: το F′ χωράει 9 αντίγραφα του F — 3 · 3 = 9.

Αυτό ισχύει για κάθε σχήμα, όχι μόνο για τετράγωνα: στο «Σχήμα F» δοκίμασε «Τρίγωνο», «Τετράγωνο» ή «Σχήμα Γ» — το F′ έχει πάντα λ² φορές περισσότερα κομματάκια από το F.

Σκέψου: αν χωρίσεις το F σε μικρά κομματάκια όλα ίσα, πόσα τέτοια κομματάκια χωράει το F′ όταν το ρυθμιστικό «λ =» δείχνει 4;

Κλασματικός λόγος: λ = 1,5

Όταν το λ δεν είναι ακέραιος, τα κομματάκια του F δεν χωρούν ακριβώς μέσα στο F′ αν μείνουν στο ίδιο μέγεθος. Η λύση: κόψε και τα δύο σχήματα σε μισά κομματάκια. Με λ = 1,5, το F χωράει τότε 4 τέτοια μισά κομματάκια (2 · 2) και το F′ χωράει 9 (3 · 3, αφού 1,5 = 3 μισά). Ο λόγος εμβαδών είναι:

Ε′ διά Ε = 9 διά 4 = 2,25 = 1,5²

Ο τύπος Ε′ = λ² · Ε ισχύει ακριβώς το ίδιο, ακέραιο ή όχι το λ.

Γρήγορος έλεγχος: πόσο κάνει 1,5²;

Όταν λ < 1: το σχήμα μικραίνει

Ο ίδιος τύπος ισχύει και όταν το F′ είναι μικρότερο από το F. Με λ = 0,5, το εμβαδόν δεν γίνεται μισό — γίνεται:

λ² = 0,5² = 0,25 = 1 διά 4

δηλαδή το ένα τέταρτο του αρχικού εμβαδού.

Ανάποδα: από τον λόγο εμβαδών στο λ

Αν ξέρεις τον λόγο εμβαδών, μπορείς να βρεις τον λόγο ομοιότητας κάνοντας το αντίστροφο του τετραγώνου — την τετραγωνική ρίζα:

λ = √Ε′ διά Ε

Αν, για παράδειγμα, Ε′ διά Ε = 9, τότε λ = √9 = 3.

Σειρά σου: αν Ε′ διά Ε = 16, ποιο είναι το λ;

Ο λόγος εμβαδών γύρω μας

Σε έναν χάρτη κλίμακας 1:100.000, κάθε μήκος στον χάρτη αντιστοιχεί σε 100.000 φορές μεγαλύτερο μήκος στην πραγματικότητα — αλλά κάθε εμβαδόν (π.χ. ένα χωράφι) αντιστοιχεί σε 100.000² = 10.000.000.000 φορές μεγαλύτερο εμβαδόν. Το ίδιο φαίνεται στη μεγέθυνση μιας φωτογραφίας σε αφίσα (το χαρτί αυξάνεται κατά το τετράγωνο της μεγέθυνσης) και στις πίτσες: μια πίτσα με 1,5 φορά μεγαλύτερη διάμετρο έχει 1,5² = 2,25 φορές περισσότερο φαγητό, όχι μόνο 1,5 φορά.

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής, απάντησε πρώτα στην ερώτηση πρόβλεψης («Αν κάθε πλευρά ενός σχήματος γίνει διπλάσια, το εμβαδόν του γίνεται:»). Μετά ρύθμισε το «λ =» στο 2 και μέτρα πόσα F χωράνε μέσα στο F′.
2. Στο «Σχήμα F» επίλεξε «Τετράγωνο», ρύθμισε το «λ =» στο 3, και παρακολούθησε τις τιμές Π′ διά Π και Ε′ διά Ε στην περιοχή πληροφοριών: η πρώτη ισούται με λ, η δεύτερη με λ².
3. Επίλεξε «Τρίγωνο» και σύρε την πάνω κορυφή του τριγώνου σε νέα θέση: δες ότι ο λόγος εμβαδών παραμένει πάντα λ², όποιο σχήμα κι αν έχει το τρίγωνο.
4. Ρύθμισε το «λ =» σε μια μη ακέραια τιμή όπως 1,5, και παρατήρησε ότι τα κομματάκια μικραίνουν (η πλευρά τους γίνεται η μισή) ώστε να χωράνε ακριβώς και στα δύο σχήματα.
5. Πάτησε N μέχρι να επιλεγεί η πάνω κορυφή του τριγώνου, και μετακίνησέ την με τα βέλη του πληκτρολογίου αντί με το ποντίκι.

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Ποιος τύπος συνδέει τον λόγο εμβαδών Ε′ διά Ε με τον λόγο ομοιότητας λ;

   Λύση

   Ε′ διά Ε = λ².

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Δύο όμοια σχήματα έχουν λόγο ομοιότητας λ = 4. Ποιος είναι ο λόγος περιμέτρων Π′ διά Π;

   Λύση

   Π′ διά Π = λ = 4: ο λόγος περιμέτρων είναι πάντα ίσος με τον λόγο ομοιότητας, όχι με το τετράγωνό του.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Δύο όμοια σχήματα με λ = 2. Αν Ε = 12, βρες το Ε′.

   Λύση

   Ε′ = 2² · 12 = 4 · 12 = 48.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Δύο όμοια σχήματα με Ε = 8 και Ε′ = 72. Βρες τον λόγο ομοιότητας λ.

   Λύση

   λ² = 72 διά 8 = 9, άρα λ = √9 = 3.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ένας μαθητής είδε ότι η πλευρά ενός σχήματος τριπλασιάστηκε και είπε «άρα και το εμβαδόν τριπλασιάστηκε». Αν το αρχικό εμβαδόν ήταν 10, βρες το σωστό τελικό εμβαδόν και εξήγησε πού είναι το λάθος του μαθητή.

   Λύση

   Το σωστό εμβαδόν είναι Ε′ = 3² · 10 = 9 · 10 = 90, όχι 3 · 10 = 30. Το λάθος του μαθητή είναι ότι μεταχειρίστηκε το εμβαδόν σαν να ήταν μήκος: το εμβαδόν είναι γινόμενο δύο διαστάσεων, και οι δύο μεγαλώνουν κατά λ, γι' αυτό το εμβαδόν μεγαλώνει κατά λ² = 9, όχι κατά λ = 3.