Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου · 28 εφαρμογές

Εφαρμογές Μαθηματικών

Κάθε εφαρμογή αντιστοιχεί σε μια ενότητα του σχολικού βιβλίου και τις βρίσκεις με τη σειρά των κεφαλαίων. Δίπλα σε κάθε μία υπάρχει η θεωρία σε μικρά βήματα, με λυμένα παραδείγματα, δραστηριότητες και ασκήσεις με λύσεις. Όλα είναι δωρεάν, χωρίς εγγραφή, και δουλεύουν και στο κινητό.

Δες και τις προσομοιώσεις Φυσικής

Άλγεβρα

Κεφ. 1Αλγεβρικές παραστάσεις

Κεφ. 2Εξισώσεις – Ανισώσεις

Κεφ. 3Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Κεφ. 4Συναρτήσεις

  • § 4.1

    Η συνάρτηση y = αx²

    Άλλαξε το α και δες την παραβολή y = αx² να ανοίγει ή να κλείνει σε σχέση με την y = x², προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Σημείο Μ πάνω στην καμπύλη, το συμμετρικό του ως προς τον y′y, πίνακας τιμών, ελάχιστο και μέγιστο, η y = −αx².

    Μόνο η εφαρμογή

Γεωμετρία – Τριγωνομετρία

Κεφ. 1Γεωμετρία

  • § 1.1

    Ισότητα τριγώνων

    Δίνεις στοιχεία ενός τριγώνου (πλευρές, γωνίες) και βλέπεις κάθε τρίγωνο που τα έχει, με την κατασκευή που βρίσκει την τρίτη κορυφή. Τα κριτήρια ΠΓΠ, ΓΠΓ και ΠΠΠ δίνουν πάντα ένα μόνο τρίγωνο· το ΠΠΓ μπορεί να δώσει δύο, το ΓΓΓ το ίδιο σχήμα σε κάθε μέγεθος. Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.

    Μόνο η εφαρμογή

  • § 1.2

    Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων

    Σύρεις τα άκρα δύο τμημάτων ΑΒ, ΓΔ και βλέπεις τον λόγο τους ως κλάσμα, με το «Κοινό μέτρο» να δείχνει γιατί δεν εξαρτάται από τη μονάδα. Στη «Διαίρεση σε λόγο» βρίσκεις το σημείο Μ που χωρίζει το ΑΒ σε δοσμένο λόγο, σέρνοντάς το ή παρακολουθώντας την κατασκευή με κανόνα και διαβήτη βήμα-βήμα.

    Μόνο η εφαρμογή

  • § 1.3

    Θεώρημα του Θαλή

    Σύρεις τρεις παράλληλες ευθείες και δύο ευθείες που τις τέμνουν, και βλέπεις τους λόγους ΑΒ/ΒΓ και Α′Β′/Β′Γ′ να μένουν ίσοι όσο κι αν τις μετακινείς. Στρίβοντας μόνο τη μεσαία παράλληλη βλέπεις τους λόγους να χωρίζουν, δηλαδή γιατί χρειάζεται η παραλληλία. Σε τρίγωνο με ΔΕ παράλληλη στη ΒΓ ελέγχεις το ΑΔ/ΔΒ = ΑΕ/ΕΓ.

    Μόνο η εφαρμογή

  • § 1.4

    Ομοιοθεσία

    Σύρεις τις κορυφές ενός σχήματος F και το κέντρο Ο, αλλάζεις τον λόγο λ από −3 έως 3 και με το «από F σε F′» βλέπεις το σχήμα να μεγαλώνει, να μικραίνει ή να περνά στην απέναντι πλευρά του Ο. Οι τιμές ΟΑ′ = |λ|·ΟΑ και Α′Β′ = |λ|·ΑΒ ενημερώνονται ζωντανά, μαζί με τα βελάκια παραλληλίας στις αντίστοιχες πλευρές.

    Μόνο η εφαρμογή

  • § 1.5

    Ομοιότητα

    Στο «Δύο ίσες γωνίες» ρυθμίζεις τις γωνίες Β, Γ και τον λόγο λ και βλέπεις το τρίγωνο Α′Β′Γ′ να παίρνει αυτόματα τις ίδιες γωνίες και πλευρές λ φορές μεγαλύτερες — δύο ίσες γωνίες αρκούν για ομοιότητα. Στο «Ποια είναι όμοια;» διαλέγεις ποιο από τρία τρίγωνα είναι όμοιο με το ΑΒΓ συγκρίνοντας τους λόγους μικρότερη/μικρότερη, μεσαία/μεσαία, μεγαλύτερη/μεγαλύτερη, και βλέπεις το σωστό να πετάει πάνω στο ΑΒΓ με κοινή κορυφή το Α και την τρίτη πλευρά παράλληλη στη ΒΓ.

    Μόνο η εφαρμογή

  • § 1.6

    Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων

    Διαλέγεις σχήμα F (τρίγωνο με σερνόμενη κορυφή, τετράγωνο ή σχήμα Γ) και λόγο ομοιότητας λ από 0,5 έως 3, και βλέπεις το F και το όμοιό του F′ κομμένα στα ίδια μικρά κομματάκια. Μετράς πόσα κομματάκια χωράει το καθένα και βλέπεις ζωντανά τον λόγο περιμέτρων Π′/Π = λ και τον λόγο εμβαδών Ε′/Ε = λ². Θεωρία, λυμένα παραδείγματα και ασκήσεις, Γ΄ Γυμνασίου.

    Μόνο η εφαρμογή

Κεφ. 2Τριγωνομετρία

  • § 2.1

    Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας 0°–180°

    Σύρεις ένα σημείο Μ(x, y) πάνω σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων και βλέπεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημω, συνω, εφω της γωνίας ω = xΟΜ να υπολογίζονται ζωντανά από το ρ = ΟΜ. Με «Μόνο πάνω στην ημιευθεία ΟΜ» βλέπεις ότι οι αριθμοί δεν αλλάζουν όσο κρατάς την ίδια γωνία. Στον «Μοναδιαίο κύκλο» ρυθμίζεις το ω από 0° έως 180° με ρυθμιστικό ή σέρνοντας το Μ πάνω στο τόξο, με ρ = 1: συνω = x, ημω = y. Θεωρία, λυμένα παραδείγματα και ασκήσεις, Γ΄ Γυμνασίου.

    Μόνο η εφαρμογή

  • § 2.2

    Παραπληρωματικές γωνίες

    Παραπληρωματικές γωνίες ω και 180° − ω. Σύρεις τα σημεία Μ ή Μ′ πάνω στον μοναδιαίο κύκλο, ή ρυθμίζεις το ω, και βλέπεις τα δύο σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα y′y, με ίδιο ημίτονο και αντίθετα συνημίτονο και εφαπτομένη. Θεωρία, λυμένα παραδείγματα και ασκήσεις, Γ΄ Γυμνασίου.

    Μόνο η εφαρμογή

  • § 2.3

    Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών

    Στο «ημ²ω + συν²ω = 1» ρυθμίζεις τη γωνία ω ή σέρνεις το σημείο Μ πάνω στο τόξο του μοναδιαίου κύκλου, και βλέπεις τα τετράγωνα πάνω στις πλευρές του τριγώνου ΟΚΜ να επαληθεύουν το Πυθαγόρειο θεώρημα. Στο «Η εφω από ημω και συνω» βλέπεις τα όμοια τρίγωνα ΟΚΜ και ΟΑΤ που δίνουν εφω = ημω διά συνω. Στο «Υπολόγισε» δίνεται ένας τριγωνομετρικός αριθμός της γωνίας και βρίσκεις τους άλλους δύο, βήμα βήμα. Θεωρία, λυμένα παραδείγματα και ασκήσεις, Γ΄ Γυμνασίου.

    Μόνο η εφαρμογή

  • § 2.4

    Νόμος των ημιτόνων

    Ο νόμος των ημιτόνων α/ημΑ = β/ημΒ = γ/ημΓ σε τρίγωνο. Στο «Σύρε το τρίγωνο» μετακινείς τις κορυφές και βλέπεις τους τρεις λόγους να μένουν ίσοι, με τρεις μπάρες ίσου μήκους. Στο «Επίλυσε» δίνονται στοιχεία ενός τριγώνου (δύο γωνίες και πλευρά, ή δύο πλευρές και γωνία απέναντι σε μία απ’ αυτές) και το λύνεις βήμα βήμα, με την κατασκευή της ασαφούς περίπτωσης να δείχνει πότε υπάρχουν 0, 1 ή 2 τρίγωνα. Θεωρία, λυμένα παραδείγματα και ασκήσεις, Γ΄ Γυμνασίου.

    Μόνο η εφαρμογή

  • § 2.4

    Νόμος των συνημιτόνων

    Ο νόμος των συνημιτόνων α² = β² + γ² − 2βγ·συνΑ σε τρίγωνο. Στο «Σύρε το τρίγωνο» τα τετράγωνα πάνω στις πλευρές δείχνουν τα α², β², γ², με δύο μπάρες που συγκρίνουν το α² με το β² + γ²· από το πρόσημο του συνΑ βλέπεις αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο. Στο «Επίλυσε» δίνονται δύο πλευρές και η γωνία τους, ή τρεις πλευρές, και το λύνεις βήμα βήμα, με μία περίπτωση όπου το τρίγωνο δεν υπάρχει. Θεωρία, λυμένα παραδείγματα και ασκήσεις, Γ΄ Γυμνασίου.

    Μόνο η εφαρμογή

Χρειάζεται βοήθεια στα Μαθηματικά; Ξεκινάμε με μια συνεδρία αξιολόγησης.

Κλείστε αξιολόγηση