Εφαρμογές Μαθηματικών · Άλγεβρα · Κεφ. 2 · §2.5

Ανισότητες και ανισώσεις

Θεωρία

Πώς συγκρίνεις δύο αριθμούς: η διαφορά

Για να πεις αν ο α είναι μεγαλύτερος, μικρότερος ή ίσος με τον β, δεν χρειάζεσαι πάντα αριθμογραμμή: αρκεί η διαφορά τους α − β.

α > β ακριβώς όταν α − β > 0

α < β ακριβώς όταν α − β < 0

Παράδειγμα: για το 9 και το 4, 9 − 4 = 5 > 0, άρα 9 > 4. Για το −6 και το −1: −6 − (−1) = −6 + 1 = −5 < 0, άρα −6 < −1 — παρόλο που το −6 «φαίνεται μεγαλύτερο» αν κοιτάξεις μόνο τα ψηφία, χωρίς το πρόσημο.

Σκέψου: σύγκρινε το −3 και το −8 με τη διαφορά τους, χωρίς αριθμογραμμή.

Τα σύμβολα < (μικρότερο), > (μεγαλύτερο), ≤ (μικρότερο ή ίσο) και ≥ (μεγαλύτερο ή ίσο) δείχνουν πώς συγκρίνονται δύο παραστάσεις. Η διαφορά ανάμεσα σε x < 4 και x ≤ 4 είναι αν το ίδιο το 4 είναι λύση: στην πρώτη όχι, στη δεύτερη ναι.

Οι ιδιότητες της διάταξης

Οι ιδιότητες αυτές λένε τι επιτρέπεται να κάνεις και στα δύο μέλη μιας ανισότητας, χωρίς να χαλάσει η αλήθεια της.

Πρόσθεση ή αφαίρεση του ίδιου αριθμού: η φορά μένει ίδια.

Αν α > β, τότε α + γ > β + γ

Παράδειγμα: 7 > 2, άρα 7 + 3 > 2 + 3, δηλαδή 10 > 5.

Πολλαπλασιασμός ή διαίρεση με θετικό αριθμό: η φορά μένει ίδια.

Αν α > β και γ > 0, τότε αγ > βγ

Παράδειγμα: 7 > 2, άρα επί 3: 21 > 6.

Πολλαπλασιασμός ή διαίρεση με αρνητικό αριθμό: η φορά αντιστρέφεται — το είδες ήδη στην αρχή της σελίδας, 2 < 5 αλλά −2 > −5.

Αν α > β και γ < 0, τότε αγ < βγ

Γιατί συμβαίνει αυτό; Ο πολλαπλασιασμός με αρνητικό αριθμό είναι σαν «ανάκλαση» γύρω από το 0 στην αριθμογραμμή: κάθε αριθμός πηγαίνει στην απέναντι πλευρά, στην ίδια απόσταση από το 0. Ό,τι ήταν πιο δεξιά (μεγαλύτερο) πάει πιο αριστερά (μικρότερο), και αντίστροφα — η σειρά αναγκαστικά γυρίζει ανάποδα. Στην εφαρμογή, λειτουργία «Γιατί αλλάζει η φορά;», βλέπεις ακριβώς αυτό: οι αριθμοί α, β σε μια αριθμογραμμή και οι kα, kβ σε μια δεύτερη, ενωμένοι με διακεκομμένες γραμμές. Όταν το k είναι αρνητικό, οι γραμμές διασταυρώνονται — αυτό δείχνει με τα μάτια σου την αντιστροφή της φοράς.

Συχνό λάθος: να διαιρείς και τα δύο μέλη μιας ανίσωσης με αρνητικό αριθμό και να ξεχνάς να αλλάξεις τη φορά. Στην −3x > 12, διαιρώντας με −3 σωστά παίρνεις x < −4. Αν «ξεχάσεις» την αλλαγή και γράψεις x > −4, δοκίμασε x = 0: −3 · 0 = 0, που δεν είναι μεγαλύτερο από το 12 — το 0 δεν είναι λύση, όμως η λάθος απάντηση θα το δεχόταν.

Συχνό λάθος: να νομίζεις ότι η φορά αλλάζει και όταν αφαιρείς αρνητικό αριθμό, ή όταν η λύση βγαίνει αρνητική. Κανένα από τα δύο δεν αλλάζει τη φορά. Η αφαίρεση ενός αρνητικού είναι στην ουσία πρόσθεση, x − (−2) = x + 2, άρα ισχύει η ιδιότητα της πρόσθεσης. Και στην 2x + 1 > −5, διαιρείς με το 2 (θετικό) και παίρνεις x > −3 — η φορά έμεινε >, παρόλο που η λύση −3 είναι αρνητική. Η φορά εξαρτάται μόνο από το πρόσημο του αριθμού με τον οποίο πολλαπλασιάζεις ή διαιρείς, ποτέ από το πρόσημο της λύσης.

Γρήγορος έλεγχος: η ανίσωση 5x ≤ 20 δίνει x ≤ 4 όταν διαιρέσεις με το 5. Χρειάζεται αλλαγή φοράς;

Μεταβατική ιδιότητα: αν ένας αριθμός είναι μεγαλύτερος από δεύτερο, κι αυτός μεγαλύτερος από τρίτο, τότε ο πρώτος είναι μεγαλύτερος και από τον τρίτο.

Αν α > β και β > γ, τότε α > γ

Παράδειγμα: 10 > 6 και 6 > 1, άρα 10 > 1.

Πρόσθεση ανισοτήτων με την ίδια φορά: μπορείς να προσθέσεις κατά μέλη δύο ανισότητες που «κοιτάζουν» προς την ίδια κατεύθυνση.

Αν α > β και γ > δ, τότε α + γ > β + δ

Παράδειγμα: 4 > 1 και 9 > 5, άρα 4 + 9 > 1 + 5, δηλαδή 13 > 6.

Σειρά σου: αν x > 3 και y > 7, τι μπορείς να πεις για το x + y;

Πώς λύνεις μια ανίσωση πρώτου βαθμού

Η διαδικασία είναι ίδια μ' εκείνη μιας εξίσωσης πρώτου βαθμού (§2.1): χωρίζεις τους αγνώστους σε ένα μέλος και τους γνωστούς στο άλλο, κάνεις αναγωγή ομοίων όρων, και τέλος διαιρείς με τον συντελεστή του x. Η μόνη διαφορά είναι αυτή που μόλις είδες: αν αυτός ο συντελεστής είναι αρνητικός, η φορά αλλάζει στο τελευταίο βήμα.

Πρόβλεψε: στην ανίσωση 6 − 3x ≥ x − 2, μετά τη μεταφορά των αγνώστων σε ένα μέλος, ο συντελεστής του x θα βγει θετικός ή αρνητικός;

Λύσεις πάνω στην αριθμογραμμή

Η λύση μιας ανίσωσης πρώτου βαθμού είναι συνήθως μια ημιευθεία: όλοι οι αριθμοί από ένα σημείο και πάνω, ή από ένα σημείο και κάτω. Το άκρο της σχεδιάζεται:

• Ανοιχτός (κενός) κύκλος για < ή >: το ίδιο το άκρο δεν είναι λύση.
• Κλειστός (γεμάτος) κύκλος για ≤ ή ≥: το άκρο είναι κι αυτό λύση.

Η λύση x > 2 είναι ημιευθεία προς τα δεξιά από το 2, με ανοιχτό κύκλο στο 2. Η λύση x ≤ −1 είναι ημιευθεία προς τα αριστερά από το −1, με κλειστό κύκλο στο −1.

Συχνό λάθος: να ζωγραφίζεις γεμάτο κύκλο σε μια ανίσωση με < ή >, «για να φαίνεται καλά το σημείο». Ο γεμάτος κύκλος σημαίνει ότι εκείνη η τιμή είναι λύση. Στο x < 4 το 4 δεν επαληθεύει την ανίσωση, αφού 4 < 4 είναι ψευδές· ο κύκλος εκεί πρέπει να είναι ανοιχτός.

Αδύνατη ανίσωση και ανίσωση που ισχύει για κάθε x

Μερικές φορές, όταν μεταφέρεις τους αγνώστους σε ένα μέλος, το x εξαφανίζεται τελείως και μένει μόνο μια σύγκριση αριθμών.

Στην x + 7 < x + 2, αφαιρώντας το x και από τα δύο μέλη μένει 7 < 2: ψευδές, ανεξάρτητα από το x. Καμία τιμή δεν είναι λύση — η ανίσωση είναι αδύνατη.

Στην 3x − 1 ≤ 3x + 4, αφαιρώντας το 3x μένει −1 ≤ 4: αληθές, ανεξάρτητα από το x. Κάθε τιμή του x είναι λύση.

Συχνό λάθος: να γράφεις 0 · x > 2 και μετά να «διαιρείς με το 0», παίρνοντας x > 2 / 0. Η διαίρεση με το 0 δεν ορίζεται ποτέ. Το 0 · x δεν είναι μια ανίσωση που περιμένει να λυθεί ως προς x — είναι απλώς ο αριθμός 0, σταθερός, ανεξάρτητα από το x. Ελέγχεις μόνο αν η αριθμητική πρόταση (0 μεγαλύτερο από 2, εδώ) είναι αληθής ή ψευδής, χωρίς καμία διαίρεση.

Ανισώσεις με κλάσματα

Όταν μια ανίσωση έχει κλασματικούς όρους, πολλαπλασιάζεις και τα δύο μέλη με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών, όπως στις κλασματικές εξισώσεις (§2.4). Εδώ όμως το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών είναι πάντα θετικό, άρα η φορά δεν αλλάζει ποτέ σε αυτό το βήμα.

Κοινές λύσεις δύο ανισώσεων

Μερικά προβλήματα θέτουν δύο συνθήκες μαζί: θέλεις τα x που επαληθεύουν και τις δύο ανισώσεις ταυτόχρονα. Αυτό γράφεται είτε ως δύο χωριστές ανισώσεις (ένα «σύστημα»), είτε μαζεμένο σε μία διπλή ανίσωση της μορφής α < x ≤ β. Λύνεις κάθε ανίσωση χωριστά, και μετά κρατάς μόνο το κοινό κομμάτι των δύο λύσεων πάνω στην αριθμογραμμή.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: στο Λυμένο παράδειγμα 4, γιατί το 2 δεν περιλαμβάνεται στις κοινές λύσεις;

Προβλήματα με λόγια

Σε προβλήματα, η ανίσωση κρύβεται πίσω από λέξεις. Μερικές συνηθισμένες:

• «το πολύ», «δεν ξεπερνά» → ≤
• «τουλάχιστον», «όχι λιγότερο από» → ≥
• «λιγότερο από» → <
• «περισσότερο από», «πάνω από» → >

Επιπλέον — για αργότερα

Στο Κεφ. 3 θα δεις συστήματα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους· η ιδέα των κοινών λύσεων που μόλις είδες θα ξαναχρειαστεί εκεί, μόνο που οι εξισώσεις θα έχουν δύο αγνώστους αντί για έναν.

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής (Ανίσωση «2x − 3 < 5»), σύρε το σημείο δοκιμής πάνω στην αριθμογραμμή και δες πότε η γραμμή πληροφοριών λέει «αληθής». Μετά πάτα «Όλα τα βήματα»: το άκρο της λύσης βγαίνει ανοιχτό ή κλειστό κύκλος;
2. Επίλεξε Ανίσωση «−2x + 1 < 7». Πριν πατήσεις οτιδήποτε, απάντησε στην ερώτηση πρόβλεψης που εμφανίζεται. Μετά πάτα «Επόμενο βήμα» μέχρι το τέλος και βρες σε ποιο βήμα το κείμενο λέει ότι η φορά αλλάζει.
3. Επίλεξε Ανίσωση «3x + 2 ≥ x − 4». Πάτα «Όλα τα βήματα» και κοίταξε το άκρο της λύσης στην αριθμογραμμή: είναι γεμάτο ή άδειο; Γιατί, με βάση το σύμβολο ≥;
4. Σύγκρινε τις δύο τελευταίες Ανισώσεις, «x + 1 > x + 3» και «2x ≤ 2x + 1»: στην πρώτη δεν σχεδιάζεται καμία λύση στη γραμμή, στη δεύτερη σχεδιάζεται ολόκληρη η γραμμή. Διάβασε στις πληροφορίες τι λέει για κάθε περίπτωση (αδύνατη ή για κάθε x).
5. Άλλαξε «Δείξε» σε «Γιατί αλλάζει η φορά;». Άφησε τα α, β όπως είναι και σύρε το k από θετικό σε αρνητικό: στο ποιο σημείο ακριβώς οι δύο διακεκομμένες γραμμές διασταυρώνονται;

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Δίνεται η ανίσωση 0 · x > 8. Χωρίς καμία πράξη, εξήγησε γιατί δεν έχει καμία λύση.

   Λύση

   Όποια τιμή κι αν βάλεις στη θέση του x, το 0 · x είναι πάντα 0, και το 0 δεν είναι ποτέ μεγαλύτερο από το 8. Καμία τιμή δεν επαληθεύει την ανίσωση: είναι αδύνατη.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Η λύση μιας ανίσωσης είναι x ≥ −3. Περίγραψε πώς τη σχεδιάζεις στην αριθμογραμμή: ποιο άκρο, ανοιχτό ή κλειστό, και προς ποια κατεύθυνση.

   Λύση

   Ημιευθεία που ξεκινά από το −3 και πηγαίνει προς τα δεξιά (προς τους μεγαλύτερους αριθμούς), με κλειστό κύκλο στο −3, αφού το ≥ σημαίνει ότι το −3 περιλαμβάνεται στις λύσεις.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Λύσε την ανίσωση 9 − 4x > x − 6.

   Λύση

   −4x − x > −6 − 9 −5x > −15. Διαιρώ με −5, αρνητικός, η φορά αλλάζει: x < 3.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Λύσε την ανίσωση x + 1 διά 4 ≥ x − 2 διά 6.

   Λύση

   Ε.Κ.Π.(4, 6) = 12. 3(x + 1) ≥ 2(x − 2) 3x + 3 ≥ 2x − 4 x ≥ −7.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Δίνεται η ανίσωση k · x > 12, όπου k ένας αριθμός διάφορος του 0. α) Αν k = 3, ποια είναι η λύση; β) Αν k = −3, ποια είναι η λύση; γ) Εξήγησε γιατί η φορά είναι διαφορετική στα δύο ερωτήματα, αν και το k έχει την ίδια απόλυτη τιμή.

   Λύση

   α) x > 4 (διαιρώ με θετικό, η φορά μένει ίδια). β) x < −4 (διαιρώ με αρνητικό, η φορά αλλάζει). γ) Η φορά εξαρτάται μόνο από το πρόσημο του αριθμού με τον οποίο διαιρείς, όχι από την απόλυτη τιμή του: θετικό κρατά τη φορά, αρνητικό την αντιστρέφει.