Εφαρμογές Μαθηματικών · Γεωμετρία · Κεφ. 1 · §1.2

Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων

Θεωρία

Τι είναι ο λόγος δύο τμημάτων

Δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ έχουν το καθένα ένα μήκος. Ο λόγος τους είναι το πηλίκο των μηκών τους, μετρημένων με την ίδια μονάδα:

ΑΒ διά ΓΔ = λ

Ο αριθμός λ δεν έχει μονάδα: λέει πόσες φορές το ΑΒ χωράει το ΓΔ. Αν λ = 3, το ΑΒ είναι τριπλάσιο του ΓΔ· γράφεται και ΑΒ = λ · ΓΔ. Η σειρά έχει σημασία — ο λόγος του ΑΒ προς το ΓΔ δεν είναι ο ίδιος αριθμός με τον λόγο του ΓΔ προς το ΑΒ, εκτός αν τα δύο τμήματα είναι ίσα.

Συχνό λάθος: να διαιρείς τους αριθμούς δύο μηκών χωρίς να τα έχεις μετρήσει με την ίδια μονάδα — π.χ. να γράφεις ότι το ΑΒ = 5 cm προς το ΓΔ = 20 mm δίνει λόγο 5 προς 20. Πρώτα μετατρέπεις και τα δύο στην ίδια μονάδα (50 mm προς 20 mm), και μετά διαιρείς.

Σκέψου: αν ΑΒ = 3 · ΓΔ, ποιο τμήμα είναι μεγαλύτερο, και ποιος είναι ο λόγος του ΑΒ προς το ΓΔ;

Το κοινό μέτρο: γιατί δεν έχει σημασία η μονάδα

Στην εφαρμογή, στη λειτουργία «Λόγος δύο τμημάτων», το πλαίσιο «Κοινό μέτρο» κόβει τα ΑΒ και ΓΔ σε κομμάτια ίσου μήκους — όσο μεγάλα γίνεται, ώστε να χωράνε ακριβώς και στα δύο τμήματα. Αυτό το κοινό κομμάτι λέγεται κοινό μέτρο των δύο τμημάτων.

Αν το ΑΒ έχει μήκος 9 και το ΓΔ μήκος 6 (σε όποια μονάδα μέτρησης), το μεγαλύτερο κοινό μέτρο έχει μήκος 3: χωράει 3 φορές στο ΑΒ και 2 φορές στο ΓΔ. Ο λόγος ΑΒ προς ΓΔ είναι τότε ο λόγος του πλήθους των κομματιών, 3 προς 2 — χωρίς να χρειάζεται καν να ξέρεις πόσο μεγάλο είναι το κάθε κομμάτι σε κάποια μονάδα.

Εκεί βρίσκεται η απάντηση στο γιατί η μονάδα δεν έχει σημασία: αν αλλάξεις μονάδα μέτρησης, το μήκος του κοινού μέτρου αλλάζει κι αυτό, στον ίδιο ακριβώς ρυθμό — αλλά το πλήθος των κομματιών σε κάθε τμήμα μένει το ίδιο, κι αυτό είναι ο λόγος.

Γρήγορος έλεγχος: το ΑΒ έχει μήκος 12 και το ΓΔ μήκος 4. Ποιος είναι ο λόγος του ΑΒ προς το ΓΔ;

Ο λόγος ως κλάσμα και ως δεκαδικός

Ο λόγος δύο τμημάτων γράφεται πρώτα ως κλάσμα των μηκών τους, και απλοποιείται όπως κάθε κλάσμα: διαιρείς αριθμητή και παρονομαστή με τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη τους — που είναι ακριβώς το μήκος του κοινού μέτρου. Το ανάγωγο κλάσμα μπορεί μετά να γραφτεί και ως δεκαδικός.

Αναλογία δύο λόγων

Σε έναν χάρτη με σταθερή κλίμακα, κάθε απόσταση πάνω στο χαρτί αντιστοιχεί σε μια πραγματική απόσταση, πάντα με τον ίδιο λόγο. Όταν δύο ζευγάρια τμημάτων έχουν τον ίδιο λόγο, λέμε ότι σχηματίζουν αναλογία:

α διά β = γ διά δ

Το α και το δ λέγονται άκροι όροι της αναλογίας, το β και το γ μέσοι όροι — ονόματα από τη θέση τους όταν γράφεις την αναλογία σε μία γραμμή, α : β = γ : δ.

Η βασική ιδιότητα κάθε αναλογίας: το γινόμενο των άκρων όρων ισούται με το γινόμενο των μέσων όρων.

α · δ = β · γ

Αυτή η ιδιότητα δουλεύει και προς τις δύο κατευθύνσεις: αν ξέρεις ότι α · δ = β · γ, μπορείς να ξαναγράψεις την αναλογία με τους μέσους (ή τους άκρους) όρους αλλαγμένους θέση, χωρίς να πάψει να ισχύει — π.χ. α/γ γίνεται ίσο με β/δ. Όταν ξέρεις τρεις από τους τέσσερις όρους μιας αναλογίας, ο τέταρτος λέγεται τέταρτος ανάλογος· τον βρίσκεις λύνοντας την εξίσωση α · δ = β · γ ως προς τον άγνωστο όρο.

Σειρά σου: στην αναλογία 4/6 = 10/15, αν αλλάξεις θέση τους μέσους όρους (γράφεις 4/10 = 6/15), εξακολουθεί να ισχύει;

Το σημείο Μ που χωρίζει ένα τμήμα σε δοσμένο λόγο

Ένα σημείο Μ πάνω στο τμήμα ΑΒ το χωρίζει σε δύο μέρη, ΜΑ και ΜΒ. Αν αυτά τα δύο μέρη έχουν λόγο ΜΑ προς ΜΒ ίσο με μ προς ν (δύο δοσμένους θετικούς αριθμούς), λέμε ότι το Μ χωρίζει το ΑΒ εσωτερικά σε λόγο μ : ν.

Το ΑΒ έχει μ + ν ίσα «μερίδια» συνολικά, από τα οποία τα μ ανήκουν στο ΜΑ. Άρα:

ΜΑ = ΑΒ · μ διά μ + ν,    ΜΒ = ΑΒ · ν διά μ + ν

Πρόβλεψε: ΑΒ = 12, μ : ν = 1 : 2. Πόσο θα είναι το ΜΑ;

Η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Πώς βρίσκεις το Μ με ακρίβεια, χωρίς να «στοχεύεις με το μάτι»; Υπάρχει μια κατασκευή με κανόνα και διαβήτη που δίνει το σωστό σημείο πάντα, όποιος κι αν είναι ο λόγος μ : ν. Στην εφαρμογή, «Δείξε» → «Διαίρεση σε λόγο», πάτα «Επόμενο βήμα» για να τη δεις:

1. Από το Α φέρνεις μια ημιευθεία, προς όποια κατεύθυνση θέλεις — όχι πάνω στο ΑΒ.
2. Πάνω της παίρνεις μ + ν ίσα κομμάτια, με τον διαβήτη· το μήκος του κάθε κομματιού δεν έχει σημασία.
3. Ενώνεις το τελευταίο σημάδι με το Β.
4. Από το σημάδι μ φέρνεις παράλληλη προς αυτή τη γραμμή. Εκεί που κόβει το ΑΒ είναι το Μ.

Γιατί δουλεύει αυτό; Οι παράλληλες γραμμές κόβουν την ημιευθεία και το ΑΒ σε κομμάτια με τον ίδιο λόγο — μια πρώτη ματιά στο θεώρημα του Θαλή, που θα δεις αναλυτικά στην §1.3. Εδώ απλώς το χρησιμοποιείς: αφού η ημιευθεία χωρίστηκε σε μ + ν ίσα κομμάτια, το ΑΒ χωρίζεται στα ίδια μ και ν κομμάτια.

Συχνό λάθος: να νομίζεις ότι το μήκος κάθε βήματος πάνω στην ημιευθεία πρέπει να ταιριάζει με κάποιο μήκος πάνω στο ΑΒ. Δεν χρειάζεται — η ημιευθεία μπορεί να έχει όποιο μήκος βήματος θέλεις, γιατί μόνο ο αριθμός των ίσων κομματιών μετράει, όχι το μήκος τους.

Όταν το ΜΑ = ΑΒ · μ διά μ + ν δεν βγαίνει ακέραιος αριθμός, δεν μπορείς να σύρεις το Μ ακριβώς πάνω σε έναν κόμβο του πλέγματος — μόνο η κατασκευή το βρίσκει με ακρίβεια, όποιοι κι αν είναι οι αριθμοί.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: πόσα ίσα κομμάτια παίρνεις πάνω στην ημιευθεία, αν μ = 3 και ν = 4;

Επιπλέον — για αργότερα

Στην §1.3 θα δεις το θεώρημα του Θαλή αναλυτικά: παράλληλες ευθείες πάνω σε δύο τεμνόμενες, και γιατί κόβουν πάντα ίσους λόγους πάνω σε κάθε μία. Η κατασκευή που μόλις είδες είναι μια πρώτη εφαρμογή του, πριν καν μάθεις γιατί δουλεύει.

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση («Δείξε» → «Λόγος δύο τμημάτων»), σύρε τα άκρα Β και Δ (ή τα ρυθμιστικά «ΑΒ =», «ΓΔ =») και δες τον λόγο ΑΒ προς ΓΔ να ενημερώνεται ως κλάσμα.
2. Απάντησε στην ερώτηση πρόβλεψης που εμφανίζεται στην αρχή, για το τι γίνεται ο λόγος όταν αλλάζεις μονάδα μέτρησης. Μετά άναψε το πλαίσιο «Κοινό μέτρο» και δες τα δύο τμήματα να χωρίζονται σε ίσα κομμάτια.
3. Ρύθμισε το ΑΒ και το ΓΔ στην ίδια τιμή: παρατήρησε τι γίνεται ο λόγος τους, και τι δείχνει το «Κοινό μέτρο» σε αυτή την περίπτωση.
4. Επίλεξε «Δείξε» → «Διαίρεση σε λόγο», όρισε τα μ, ν με τα ρυθμιστικά, και σύρε το σημείο Μ μέχρι να πλησιάσεις το σωστό σημείο.
5. Στην ίδια λειτουργία, πάτα «Επόμενο βήμα» επανειλημμένα (ή «Όλα τα βήματα») για να δεις ολόκληρη την κατασκευή με κανόνα και διαβήτη, και «Από την αρχή» για να την ξαναδείς από την αρχή.

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Το ΑΒ έχει μήκος 8 και το ΓΔ μήκος 12. Βρες τον λόγο ΑΒ προς ΓΔ ως ανάγωγο κλάσμα.

   Λύση

   ΜΚΔ(8, 12) = 4, οπότε ο λόγος είναι 8 διά 12 = 2 διά 3.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Δύο τμήματα έχουν μήκη 7 cm και 21 mm. Είναι σωστό να πεις ότι ο λόγος τους είναι 7 προς 21; Εξήγησε.

   Λύση

   Όχι: τα 7 cm και τα 21 mm δεν είναι μετρημένα με την ίδια μονάδα. Πρώτα μετατρέπεις: 7 cm = 70 mm. Ο λόγος είναι 70 προς 21, που απλοποιείται σε 10 προς 3.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Σε αναλογία α/β = γ/δ, δίνονται α = 8, β = 6, γ = 12. Βρες το δ.

   Λύση

   Από α · δ = β · γ: 8 · δ = 6 · 12 = 72, άρα δ = 72 διά 8 = 9.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Το τμήμα ΑΒ έχει μήκος 12. Βρες το σημείο Μ που το χωρίζει έτσι ώστε ΜΑ : ΜΒ = 1 : 2.

   Λύση

   ΜΑ = 12 · 1 διά 3 = 4, και ΜΒ = 12 − 4 = 8. Έλεγχος: το 4 προς το 8 απλοποιείται σε 1 προς 2.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ένας χάρτης έχει κλίμακα 1 : 25000 (κάθε 1 cm στον χάρτη αντιστοιχεί σε 25000 cm στην πραγματικότητα). Δύο πόλεις απέχουν 8 cm στον χάρτη. Πόσα km απέχουν στην πραγματικότητα; Γιατί ο λόγος 1 : 25000 δεν έχει μονάδα, παρόλο που τον χρησιμοποιείς για να συγκρίνεις εκατοστά με χιλιόμετρα;

   Λύση

   Πραγματική απόσταση: 8 · 25000 = 200000 cm = 2000 m = 2 km. Ο λόγος 1 : 25000 δεν έχει μονάδα επειδή συγκρίνει δύο μήκη μετρημένα με την ίδια μονάδα (cm προς cm) — μόνο αφού βρεις τα cm της πραγματικής απόστασης τα μετατρέπεις, ξεχωριστά, σε km.