Εφαρμογές Μαθηματικών · Άλγεβρα · Κεφ. 1 · §1.1

Τετραγωνική ρίζα και οι ιδιότητές της

Θεωρία

Από το εμβαδόν στην πλευρά

Ένα τετράγωνο δωμάτιο έχει εμβαδόν 49 m². Πόσο είναι το μήκος κάθε τοίχου;

Ψάχνεις έναν αριθμό που, αν τον πολλαπλασιάσεις με τον εαυτό του, δίνει 49. Είναι το 7, γιατί 7² = 49.

Αυτή η πράξη λέγεται τετραγωνική ρίζα. Είναι το αντίστροφο του «υψώνω στο τετράγωνο».

√x = y σημαίνει y ≥ 0 και y² = x

• √x διαβάζεται «τετραγωνική ρίζα του x» ή απλά «ρίζα x».
• Ο αριθμός κάτω από τη ρίζα, το x, λέγεται υπόριζο.
• Η ρίζα είναι πάντα θετική ή μηδέν. Και το (−7)² = 49, όμως √49 = 7, όχι −7.
• √0 = 0, γιατί 0² = 0.

Στην εφαρμογή, στην «Πλευρά», το τετράγωνο κάθεται πάνω σε μια αριθμογραμμή. Η πλευρά του ξεκινά από το 0, άρα τελειώνει ακριβώς στον αριθμό √Ε.

Σκέψου: υπάρχει √(−9); Ποιος αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο δίνει −9;

Ανάμεσα σε ποιους ακέραιους;

Οι αριθμοί 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 λέγονται τέλεια τετράγωνα. Οι ρίζες τους είναι ακέραιοι: 1, 2, 3, …, 10. Στην εφαρμογή, όταν το Ε είναι τέλειο τετράγωνο, η γωνία του τετραγώνου πέφτει ακριβώς πάνω σε κόμβο του πλέγματος.

Για τους άλλους αριθμούς βρίσκεις πρώτα ανάμεσα σε ποια δύο τέλεια τετράγωνα βρίσκονται.

Πρόβλεψε: το √90 είναι πιο κοντά στο 9 ή στο 10; Έλεγξε με την εφαρμογή.

Ρητοί και άρρητοι αριθμοί

Ο υπολογιστής τσέπης δίνει √2 = 1,414213562…. Τα ψηφία δεν τελειώνουν ποτέ και δεν επαναλαμβάνονται με κάποια σειρά. Το √2 δεν γράφεται ως κλάσμα ακεραίων.

• Ρητός λέγεται ένας αριθμός που γράφεται ως κλάσμα ακεραίων, π.χ. 3, −2 διά 5, 0,75.
• Άρρητος λέγεται κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός, π.χ. √2, √20, π.
• Ρητοί και άρρητοι μαζί είναι οι πραγματικοί αριθμοί. Ο καθένας έχει τη θέση του πάνω στην αριθμογραμμή.

Η ρίζα ενός φυσικού αριθμού που δεν είναι τέλειο τετράγωνο είναι άρρητος. Γι’ αυτό γράφουμε √20 και όχι 4,47: το 4,47 είναι μόνο μια προσέγγιση.

Συχνό λάθος: «√20 = 4,47». Ο υπολογιστής δείχνει λίγα ψηφία και ξεγελά. Έλεγξέ το: 4,47² = 19,9809, όχι 20. Γράψε √20 ≈ 4,47 με το σύμβολο «≈», ή κράτα το ακριβές √20.

Ρίζα και τετράγωνο: ποιο πρώτο;

Δύο πράξεις που «αναιρούν» η μία την άλλη. Η σειρά τους όμως μετράει.

• Πρώτα ρίζα, μετά τετράγωνο: (√x)² = x, για x ≥ 0. Π.χ. (√7)² = 7.
• Πρώτα τετράγωνο, μετά ρίζα: √x² = |x|, για κάθε x. Π.χ. √(−5)² = √25 = 5 = |−5|.

Βρες το λάθος: «√(−3)² = −3».

Γινόμενο και πηλίκο ριζών

Άνοιξε το «√α · √β» στην εφαρμογή με α = 12 και β = 3. Δύο τετράγωνα κάθονται σε απέναντι γωνίες ενός μεγάλου τετραγώνου. Ανάμεσά τους μένουν δύο ορθογώνια με πλευρές √12 και √3.

Το εμβαδόν κάθε ορθογωνίου είναι √12 · √3. Η εφαρμογή δείχνει ότι είναι ακριβώς 6, δηλαδή √36. Και 36 = 12 · 3.

Αυτό ισχύει πάντα:

√α · √β = √α · β     √α διά √β = √α διά β

για α ≥ 0 και β ≥ 0 (στο πηλίκο β > 0).

Γιατί; Υψώνω στο τετράγωνο το αριστερό μέλος: (√α · √β)² = (√α)² · (√β)² = α · β. Άρα το √α · √β είναι ένας θετικός αριθμός με τετράγωνο α · β. Αυτός ο αριθμός, από τον ορισμό, είναι το √α · β.

Απλοποίηση: √20 = 2√5

Στην «Πλευρά» βάλε Ε = 20 και τσέκαρε «Χώρισε σε ίσα τετράγωνα». Το τετράγωνο χωρίζεται σε 2 × 2 = 4 ίσα τετράγωνα με εμβαδόν 5. Η πλευρά του αποτελείται από 2 πλευρές των μικρών, άρα √20 = 2√5.

Με την ιδιότητα του γινομένου:

1. Γράφω το υπόριζο ως γινόμενο με έναν παράγοντα τέλειο τετράγωνο, τον μεγαλύτερο που βρίσκω: 20 = 4 · 5.
2. Χωρίζω τη ρίζα: √20 = √4 · 5 = √4 · √5.
3. Υπολογίζω τη ρίζα του τέλειου τετραγώνου: √4 · √5 = 2√5.

Το 2√5 σημαίνει 2 · √5. Γενικά, για α, β ≥ 0: √α² · β = α√β.

Τώρα μπορείς να προσθέσεις ρίζες με το ίδιο υπόριζο, όπως προσθέτεις όμοιους όρους: 3√2 + 5√2 = 8√2, όπως 3x + 5x = 8x.

Η παγίδα του αθροίσματος

Άνοιξε το «√α + √β». Τα δύο τετράγωνα, α και β, κάθονται δίπλα-δίπλα. Το διακεκομμένο τετράγωνο έχει εμβαδόν α + β, όσο και τα δύο μαζί.

Η βάση του όμως, √α + β, βγαίνει πάντα μικρότερη από τη βάση των δύο, √α + √β.

√α + √β ≠ √α + β    (για α, β > 0)

Συχνό λάθος: «√9 + √16 = √25». Μοιάζει με το √9 · 16 = √9 · √16, που είναι σωστό, και γι’ αυτό ξεγελά. Έλεγξε με αριθμούς: √9 + √16 = 3 + 4 = 7, ενώ √25 = 5. Η ρίζα «μοιράζεται» σε γινόμενο και πηλίκο, όχι σε άθροισμα ή διαφορά.

Γρήγορος έλεγχος: ποιο είναι σωστό; (α) √4 · 9 = 6 (β) √4 + 9 = 5

Ρίζα στον παρονομαστή

Ένα κλάσμα όπως 6 διά √3 έχει άρρητο παρονομαστή. Συνήθως το ξαναγράφουμε με ρητό παρονομαστή: πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την ίδια ρίζα, γιατί √3 · √3 = 3.

6 διά √3 = 6 · √3 διά √3 · √3 = 6√3 διά 3 = 2√3

Η τιμή του κλάσματος δεν αλλάζει: πολλαπλασιάσαμε με √3 διά √3 = 1.

Σειρά σου: γράψε το 10 διά √5 με ρητό παρονομαστή.

Επιπλέον — για αργότερα

Το √2 σχεδιάζεται ακριβώς, χωρίς υπολογιστή. Φτιάξε ένα τετράγωνο με πλευρά 1 και τράβηξε τη διαγώνιό του.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα, η διαγώνιος δ έχει δ² = 1² + 1² = 2, άρα δ = √2. Με τον διαβήτη μεταφέρεις αυτό το μήκος πάνω στην αριθμογραμμή, από το 0. Έτσι ένας άρρητος αριθμός αποκτά ακριβή θέση στην ευθεία.

Δραστηριότητες

1. Στην «Πλευρά» βάλε διαδοχικά Ε = 1, 4, 9, 16, …, 100. Πού πέφτει κάθε φορά η γωνία του τετραγώνου; Τι κοινό έχουν αυτοί οι αριθμοί;
2. Βάλε Ε = 50. Πρόβλεψε ανάμεσα σε ποιους ακέραιους είναι το √50 και έλεγξε στην αριθμογραμμή. Μετά τσέκαρε «Χώρισε σε ίσα τετράγωνα»: σε πόσα και πόσο μεγάλα τετράγωνα χωρίζεται;
3. Βρες όλα τα Ε έως το 100 που χωρίζονται σε ίσα τετράγωνα με εμβαδόν 2. Γράψε για καθένα την απλοποίηση, π.χ. √8 = 2√2.
4. Στο «√α + √β» κράτα α = 25 και άλλαξε το β από 1 έως 25. Πότε η διαφορά ανάμεσα στο √α + √β και στο √α + β είναι μικρή και πότε μεγάλη;
5. Στο «√α · √β» βρες τρία ζευγάρια όπου κανένα από τα α, β δεν είναι τέλειο τετράγωνο, αλλά το εμβαδόν κάθε ορθογωνίου βγαίνει ακέραιος (π.χ. α = 12, β = 3). Τι πρέπει να ισχύει για το γινόμενο α · β;

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Ποιες από τις παρακάτω ρίζες είναι ακέραιοι αριθμοί και ποιες δεν ορίζονται; √64, √40, √0, √(−16), √1.

   Λύση

   √64 = 8, √0 = 0 και √1 = 1 είναι ακέραιοι. Το √40 ορίζεται, αλλά δεν είναι ακέραιος: 6 < √40 < 7, γιατί 36 < 40 < 49. Το √(−16) δεν ορίζεται, γιατί κανένας αριθμός δεν έχει τετράγωνο −16.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Σωστό ή λάθος; (α) √(−6)² = 6 (β) √16 + 9 = 4 + 3 (γ) (√11)² = 11 (δ) √4 · 7 = 2√7

   Λύση

   (α) Σωστό: √36 = 6. (β) Λάθος: √25 = 5, όχι 7. (γ) Σωστό. (δ) Σωστό: √4 · √7 = 2√7.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Γράψε στην απλούστερη μορφή: (α) √50 (β) √48 (γ) √200.

   Λύση

   (α) √50 = √25 · 2 = 5√2. (β) √48 = √16 · 3 = 4√3. (γ) √200 = √100 · 2 = 10√2. Έλεγχος για το (β): 4 · 1,732 ≈ 6,93 και 6,93² ≈ 48.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Κάνε τις πράξεις: (α) √3 · √27 (β) √45 διά √5 (γ) √18 + √8 (δ) 12 διά √6 με ρητό παρονομαστή.

   Λύση

   (α) √3 · 27 = √81 = 9.

   (β) √45 διά 5 = √9 = 3.

   (γ) Απλοποιώ πρώτα κάθε ρίζα: √18 = 3√2, √8 = 2√2. Άρα 3√2 + 2√2 = 5√2. Προσοχή: δεν είναι √26.

   (δ) 12 · √6 διά √6 · √6 = 12√6 διά 6 = 2√6.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 50 m². Η Ελένη λέει ότι η πλευρά του είναι 5√2 m και ο Νίκος ότι είναι 7,07 m. Ποιος έχει δίκιο; Χωρίς υπολογιστή, δείξε ότι η περίμετρος είναι μεγαλύτερη από 28 m.

   Λύση

   Η πλευρά είναι √50 = √25 · 2 = 5√2 m. Η Ελένη δίνει την ακριβή τιμή. Ο Νίκος δίνει προσέγγιση: 7,07² = 49,9849, όχι 50. Σωστό θα ήταν «περίπου 7,07 m».

   Περίμετρος: 4 · 5√2 = 20√2. Επειδή 49 < 50, είναι 7 < √50, άρα η πλευρά είναι μεγαλύτερη από 7 m και η περίμετρος μεγαλύτερη από 4 · 7 = 28 m.