Εφαρμογές Μαθηματικών · Άλγεβρα · Κεφ. 1 · §1.3

Πρόσθεση και αφαίρεση πολυωνύμων

Θεωρία

Τι είναι πολυώνυμο

Το εμβαδόν δύο τετραγώνων x επί x, τριών λωρίδων x επί 1 και μίας μονάδας γράφεται 2x² + 3x + 1. Είναι άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι όμοια μεταξύ τους.

• Πολυώνυμο λέγεται ένα άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι όμοια. Κάθε μονώνυμο λέγεται όρος του πολυωνύμου.
• Ένα μονώνυμο μόνο του θεωρείται κι αυτό πολυώνυμο.
• Γράφουμε συνήθως τους όρους από τη μεγαλύτερη δύναμη προς τη μικρότερη: 2x² + 3x + 1. Ο όρος χωρίς μεταβλητή (εδώ το 1) λέγεται σταθερός όρος.

Η αφαίρεση γράφεται ως πρόσθεση αρνητικού όρου: το x² − 4x είναι το x² + (−4x). Στην εφαρμογή, κάθε όρος είναι πλακίδια: πορτοκαλί με «+» για θετικό συντελεστή, μπλε με «−» για αρνητικό.

Σκέψου: είναι πολυώνυμο το 3x + 5x;

Βαθμός και ονομασία P(x)

Ο βαθμός ενός πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος βαθμός από τους όρους του. Το 2x² + 3x + 1 είναι 2ου βαθμού, το 5x − 7 είναι 1ου.

• Ένας αριθμός, π.χ. το 9, είναι σταθερό πολυώνυμο μηδενικού βαθμού.
• Το 0 είναι το μηδενικό πολυώνυμο και δεν έχει βαθμό.

Ένα πολυώνυμο με μεταβλητή x το ονομάζουμε συχνά με ένα κεφαλαίο γράμμα: P(x) = 2x² + 3x + 1. Το P(2) σημαίνει την αριθμητική του τιμή για x = 2:

P(2) = 2 · 2² + 3 · 2 + 1 = 8 + 6 + 1 = 15

Σειρά σου: για το ίδιο P(x), βρες το P(−1).

Πρόσθεση πολυωνύμων

Στην εφαρμογή βάλε P = 2x² − x + 3 και Q = −x² + 3x − 1. Στη γραμμή του αποτελέσματος, κάθε ζευγάρι «+» και «−» του ίδιου σχήματος σβήνει: είναι αντίθετα μονώνυμα, με άθροισμα 0. Όσα πλακίδια μένουν είναι η απάντηση.

Με σύμβολα: γράφεις το ένα πολυώνυμο δίπλα στο άλλο και κάνεις αναγωγή όμοιων όρων.

Ο έλεγχος με έναν απλό αριθμό, π.χ. x = 1, πιάνει τα περισσότερα λάθη. Αν τα δύο μέλη δεν δίνουν τον ίδιο αριθμό, κάπου υπάρχει λάθος.

Αφαίρεση πολυωνύμων

Αφαιρώ ένα πολυώνυμο σημαίνει προσθέτω το αντίθετό του: το ίδιο πολυώνυμο με όλα τα πρόσημα αλλαγμένα. Στην εφαρμογή, στο «P − Q» η δεύτερη γραμμή γίνεται «−Q» και όλα τα πλακίδια της αλλάζουν χρώμα και πρόσημο.

P(x) − Q(x) = P(x) + (−Q(x))

Στην πράξη: ένα «−» μπροστά από παρένθεση αλλάζει το πρόσημο κάθε όρου μέσα της όταν τη βγάζεις.

Συχνό λάθος: να αλλάξεις πρόσημο μόνο στον πρώτο όρο της παρένθεσης: −(−x² + 3x − 1) = x² + 3x − 1. Λάθος. Το «−» είναι σαν «−1 ·» και πολλαπλασιάζει κάθε όρο: σωστά x² − 3x + 1. Για να το αποφύγεις, γράψε πρώτα την παρένθεση με τα αλλαγμένα πρόσημα σε ξεχωριστή γραμμή.

Πρόβλεψε: P(x) = x² + 2x και Q(x) = x² − 2x. Πόσο κάνει P(x) − Q(x); Έλεγξε με την εφαρμογή.

Τι γίνεται με τον βαθμό

Ο βαθμός του αθροίσματος ή της διαφοράς δεν είναι ποτέ μεγαλύτερος από τον μεγαλύτερο βαθμό των δύο πολυωνύμων. Μπορεί όμως να είναι μικρότερος, αν οι μεγαλύτεροι όροι είναι αντίθετοι και σβήνουν.

Αν P και Q είναι αντίθετα πολυώνυμα, το άθροισμά τους είναι το μηδενικό πολυώνυμο, που δεν έχει βαθμό. Στην εφαρμογή: βάλε στο Q τους αντίθετους συντελεστές του P και δες όλα τα πλακίδια του αποτελέσματος να σβήνουν.

Επιπλέον — για αργότερα

Στην εφαρμογή το πλακίδιο x δεν έχει μήκος ίσο με ακέραιο αριθμό από μονάδες. Αυτό γίνεται επίτηδες: το x μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός, γι’ αυτό δεν μπορείς ποτέ να «ανταλλάξεις» ένα πλακίδιο x με μονάδες. Γι’ αυτό και το x + 1 δεν γίνεται ένας όρος: δεν ξέρεις πόσες μονάδες είναι το x.

Δραστηριότητες

1. Φτιάξε το P = 2x² − x + 3 και το Q = −x² + 3x − 1. Μέτρησε στο αποτέλεσμα πόσα ζευγάρια σβήνουν και έλεγξε το x² + 2x + 2.
2. Με τα ίδια P και Q, πάτα «P − Q». Ποια πλακίδια του Q άλλαξαν; Σύγκρινε το αποτέλεσμα με το Λυμένο παράδειγμα 2.
3. Βρες ένα Q ώστε το P + Q να είναι 0 για P = x² − 2x + 3. Πώς λέγεται το Q σε σχέση με το P;
4. Βρες P και Q, και τα δύο 2ου βαθμού, ώστε το P + Q να είναι 1ου βαθμού. Μετά βρες άλλα, ώστε το P + Q να είναι σταθερό πολυώνυμο.
5. Κράτα το ίδιο P και το ίδιο Q και σύγκρινε τα «P − Q» και «Q − P» (για το δεύτερο, αντάλλαξε με το χέρι τους συντελεστές). Τι σχέση έχουν τα δύο αποτελέσματα;

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Για το πολυώνυμο P(x) = −x³ + 4x − 7 γράψε: τους όρους του, τον σταθερό όρο, τον βαθμό του και την τιμή P(0).

   Λύση

   Όροι: −x³, 4x, −7. Σταθερός όρος −7. Βαθμός 3. P(0) = −7: στο x = 0 μένει πάντα μόνο ο σταθερός όρος.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Βγάλε τις παρενθέσεις: (α) +(3x − 5) (β) −(3x − 5) (γ) −(−x² − x + 2)

   Λύση

   (α) 3x − 5. (β) −3x + 5. (γ) x² + x − 2.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Αν A = 4x² − 3x + 1 και B = x² + 5x − 6, βρες τα A + B και A − B.

   Λύση

   A + B = 5x² + 2x − 5.

   A − B = 4x² − 3x + 1 − x² − 5x + 6 = 3x² − 8x + 7.

   Έλεγχος με x = 1: A = 2, B = 0, άρα και τα δύο πρέπει να δίνουν 2. 5 + 2 − 5 = 2 και 3 − 8 + 7 = 2. Σωστά.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Κάνε τις πράξεις: (2a² − ab) − (a² − 3ab + b²) + (b² − a²).

   Λύση

   2a² − ab − a² + 3ab − b² + b² − a². Όροι a²: 2 − 1 − 1 = 0. Όροι ab: −1 + 3 = 2. Όροι b²: −1 + 1 = 0. Αποτέλεσμα: 2ab.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Η Μαρία έγραψε: (5x² + 2x) − (3x² − 4x) = 2x² − 2x. Βρες το λάθος χωρίς να λύσεις από την αρχή, με έναν έλεγχο για έναν αριθμό. Μετά γράψε τη σωστή απάντηση.

   Λύση

   Έλεγχος με x = 1: αριστερά 7 − (−1) = 8, δεξιά 2 − 2 = 0. Δεν ταιριάζουν, άρα υπάρχει λάθος. Η Μαρία δεν άλλαξε το πρόσημο του −4x: 2x − (−4x) = 6x. Σωστά: 2x² + 6x, και πράγματι 2 + 6 = 8.