Εφαρμογές Μαθηματικών · Άλγεβρα · Κεφ. 2 · §2.1

Η εξίσωση αx + β = 0

Θεωρία

Τι είναι μια εξίσωση

Μια εξίσωση είναι μια ισότητα με έναν άγνωστο, συνήθως τον x. Η εξίσωση 3x = 12 λέει «τρεις φορές ένας αριθμός κάνει 12». Ο αριθμός που την κάνει αληθινή, εδώ το 4, λέγεται λύση ή ρίζα της εξίσωσης. Το ελέγχεις αντικαθιστώντας: 3 · 4 = 12, αληθές.

Μια εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο μπορεί πάντα να φέρει στη μορφή αx + β = 0 ή, όπως δείχνει η εφαρμογή, στη γενικότερη μορφή αx + β = γx + δ, με δύο μέλη, ένα σε κάθε τάσι.

Σκέψου: είναι το x = 5 λύση της εξίσωσης 2x − 3 = 7;

Η ζυγαριά: ό,τι κάνεις σε ένα τάσι, το κάνεις και στο άλλο

Αν μια ζυγαριά ισορροπεί και αφαιρέσεις το ίδιο βάρος και από τα δύο τάσια, εξακολουθεί να ισορροπεί. Αν δεν ισορροπούσε, γέρνει ακριβώς όσο γερνούσε πριν. Αυτή η ιδέα επιτρέπει τα «βήματα» της λύσης: αφαιρείς το ίδιο πλακίδιο x ή τον ίδιο αριθμό και από τα δύο μέλη, και η νέα εξίσωση έχει ακριβώς την ίδια λύση με την αρχική. Δύο τέτοιες εξισώσεις λέγονται ισοδύναμες.

Συχνό λάθος: «μεταφέρω» έναν όρο από το ένα μέλος στο άλλο χωρίς να του αλλάξω πρόσημο, π.χ. γράφω x + 3 = 8 ⇒ x = 8 + 3. Στη ζυγαριά αυτό σημαίνει ότι αφαιρείς ένα πλακίδιο 3 μόνο από το αριστερό τάσι και το προσθέτεις στο δεξί, αντί να το αφαιρέσεις και από τα δύο: η ζυγαριά δεν μένει πια ισορροπημένη. Το σωστό είναι x + 3 = 8 ⇒ (αφαιρώ 3 και από τα δύο μέλη) ⇒ x = 8 − 3 = 5.

Τα βήματα της λύσης

Μια πλήρης λύση έχει αυτή τη σειρά: ανοίγεις τις παρενθέσεις, χωρίζεις τους όρους με x στο ένα μέλος και τους αριθμούς στο άλλο (αφαιρώντας το ίδιο και από τα δύο τάσια), κάνεις αναγωγή ομοίων όρων σε κάθε μέλος, και τέλος διαιρείς και τα δύο μέλη με τον συντελεστή του x.

Συχνό λάθος: διαιρώ με αρνητικό συντελεστή και ξεχνάω το πρόσημο. Στο −2x = 6, διαιρώντας με −2 βγαίνει x = −3, όχι x = 3. Ο έλεγχος το πιάνει αμέσως: −2 · 3 = −6, όχι 6.

Παρενθέσεις και παρονομαστές: το Ε.Κ.Π.

Όταν η εξίσωση έχει παρενθέσεις, τις ανοίγεις πρώτα με την επιμεριστική ιδιότητα. Όταν έχει παρονομαστές, πολλαπλασιάζεις κάθε όρο και των δύο μελών με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών (§1.8), ώστε τα κλάσματα να απαλειφθούν.

Συχνό λάθος: πολλαπλασιάζω με το Ε.Κ.Π. μόνο τους όρους που έχουν παρονομαστή και ξεχνάω τους υπόλοιπους. Στο x διά 2 + 1 = 4, το Ε.Κ.Π. είναι 2· πολλαπλασιάζεις και το 1 και το 4 με 2, όχι μόνο το πρώτο κλάσμα: x + 2 = 8, όχι x + 1 = 8.

Οι τρεις περιπτώσεις

Κάθε εξίσωση 1ου βαθμού καταλήγει, μετά τα βήματα, στη μορφή αx = −β. Τι γίνεται εξαρτάται μόνο από το αν α είναι 0 ή όχι.

Αν α ≠ 0, μοιράζεις τα πλακίδια x κανονικά και υπάρχει ακριβώς μία λύση:

x = −β διά α

Αν α = 0, δεν έμεινε κανένα πλακίδιο x για να μοιράσεις. Η εξίσωση γίνεται 0x = κάτι, και τότε έχει σημασία μόνο τι είναι αυτό το «κάτι»:

• 0x = 5: κανένας αριθμός επί 0 δεν κάνει ποτέ 5 (το 0 φορές οτιδήποτε είναι πάντα 0). Καμία τιμή του x δεν δουλεύει: η εξίσωση είναι αδύνατη.
• 0x = 0: αυτό ισχύει για κάθε x, αφού 0 φορές οτιδήποτε δίνει 0. Κάθε αριθμός είναι λύση: η εξίσωση είναι ταυτότητα (ή αόριστη).

Στη ζυγαριά, μια αδύνατη εξίσωση δεν ισορροπεί ποτέ, όποια τιμή κι αν δοκιμάσεις στο «Δοκίμασε x»· μια ταυτότητα ισορροπεί πάντα, για κάθε τιμή.

Συχνό λάθος: νομίζω ότι η ταυτότητα 0x = 0 έχει «λύση το 0». Δεν είναι έτσι: σημαίνει ότι κάθε αριθμός είναι λύση, όχι μόνο το 0. Δοκίμασε x = 100 στο 0 · x = 0: βγαίνει 0 = 0, αληθές, ακριβώς όπως για κάθε άλλο x.

Πρόβλεψε: η εξίσωση 5x + 1 = 5x + 1 έχει καμία, μία ή άπειρες λύσεις;

Έλεγχος της λύσης με αντικατάσταση

Αφού βρεις μια λύση, την ελέγχεις αντικαθιστώντας την στην αρχική εξίσωση, πριν από οποιοδήποτε βήμα: υπολογίζεις χωριστά κάθε μέλος και κοιτάς αν βγαίνει ο ίδιος αριθμός. Στη ζυγαριά αυτό είναι ακριβώς η τιμή του x για την οποία τα δύο τάσια ζυγίζουν το ίδιο.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: ποια είναι η λύση της εξίσωσης 3x + 2 = x + 8 από το Λυμένο παράδειγμα 1, και πώς την ελέγχεις;

Ένα πρόβλημα με λόγια

Πολλά προβλήματα κρύβουν μια εξίσωση 1ου βαθμού: διαβάζεις την εκφώνηση, ονομάζεις τον άγνωστο x, γράφεις μια εξίσωση που εκφράζει τη σχέση, τη λύνεις, και μεταφράζεις την απάντηση ξανά στα λόγια του προβλήματος.

Επιπλέον — για αργότερα

Όταν ο άγνωστος x βρίσκεται μέσα σε παρονομαστή (κλασματική εξίσωση, §2.4), το πολλαπλασιάζεις κανονικά με το Ε.Κ.Π. όπως εδώ, αλλά πρέπει επιπλέον να βρεις τους περιορισμούς της (τις τιμές του x που μηδενίζουν έναν παρονομαστή) πριν λύσεις, και να απορρίψεις μια «λύση» αν συμπίπτει με περιορισμό.

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής (Εξίσωση «3x + 2 = x + 8»), μετακίνησε το ρυθμιστικό «Δοκίμασε x» σε διάφορες τιμές και παρατήρησε προς ποια μεριά γέρνει η ζυγαριά. Βρες με δοκιμή την τιμή όπου φαίνεται οριζόντια, μετά πάτα «Επόμενο βήμα» ένα-ένα μέχρι το τέλος και σύγκρινε με αυτό που βρήκες.
2. Επίλεξε Εξίσωση «−x + 3 = x − 5». Πριν πατήσεις τίποτα, κοίταξε το αριστερό τάσι: αντί για πλακίδιο x έχει ένα μπαλόνι. Γιατί; Μετά πάτα «Όλα τα βήματα» και διάβασε τις γραμμές πληροφοριών πάνω.
3. Επίλεξε Εξίσωση «3x + 1 = 8». Προσπάθησε να ισορροπήσεις τη ζυγαριά χρησιμοποιώντας μόνο το ρυθμιστικό «Δοκίμασε x» (κινείται ανά 0,5). Γίνεται ακριβώς; Πάτα «Όλα τα βήματα» και δες τη λύση ως κλάσμα.
4. Επίλεξε Εξίσωση «2x + 3 = 2x + 5». Απάντησε πρώτα στην ερώτηση πρόβλεψης που εμφανίζεται. Μετά δοκίμασε αρκετές τιμές στο «Δοκίμασε x»: αλλάζει ποτέ η φορά της κλίσης; Πάτα «Όλα τα βήματα» και διάβασε την τελευταία γραμμή πληροφοριών.
5. Επίλεξε Εξίσωση «2x + 3 = 2x + 3» και σύγκρινε τη συμπεριφορά της ζυγαριάς με την προηγούμενη δραστηριότητα, καθώς κινείς το «Δοκίμασε x». Μετά επίλεξε «Δική μου» ή πάτα «Νέο παράδειγμα» μερικές φορές· πριν πατήσεις «Όλα τα βήματα», μάντεψε αν κάθε νέα εξίσωση έχει μοναδική λύση, είναι αδύνατη ή ταυτότητα.

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Ποιες από τις εξισώσεις 4x = 12, 0x = 9, 0x = 0 έχουν μοναδική λύση, ποια είναι αδύνατη, και ποια είναι ταυτότητα;

   Λύση

   4x = 12: μοναδική λύση x = 3. 0x = 9: αδύνατη (0 επί οτιδήποτε δεν κάνει ποτέ 9). 0x = 0: ταυτότητα, κάθε αριθμός είναι λύση.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Είναι το x = 4 λύση της εξίσωσης 2x − 3 = x + 2;

   Λύση

   Όχι. Στο x = 4: αριστερό μέλος 2 · 4 − 3 = 5, δεξί μέλος 4 + 2 = 6. Τα μέλη δεν είναι ίσα, άρα το 4 δεν είναι λύση. (Η πραγματική λύση είναι x = 5.)

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Λύσε την εξίσωση 3(x − 2) + 4 = 2x + 5.

   Λύση

   3x − 6 + 4 = 2x + 5, δηλαδή 3x − 2 = 2x + 5. Χωρίζοντας: 3x − 2x = 5 + 2, άρα x = 7. Έλεγχος: 3(7 − 2) + 4 = 19, 2 · 7 + 5 = 19.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Λύσε την εξίσωση x διά 3 + 1 = x διά 2 − 1.

   Λύση

   Ε.Κ.Π.(3, 2) = 6. Πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο με 6: 2x + 6 = 3x − 6. Χωρίζοντας: 6 + 6 = 3x − 2x, άρα x = 12. Έλεγχος: 12 διά 3 + 1 = 5, 12 διά 2 − 1 = 5.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Δίνεται η εξίσωση (κ − 2)x = 3, όπου κ ένας αριθμός. Για ποια τιμή του κ η εξίσωση είναι αδύνατη; Μπορεί ποτέ να γίνει ταυτότητα;

   Λύση

   Η εξίσωση έχει τη μορφή αx = 3 με α = κ − 2. Όταν κ = 2, το α γίνεται 0 και η εξίσωση γίνεται 0x = 3: αδύνατη. Για κάθε άλλο κ υπάρχει μοναδική λύση x = 3 διά κ − 2. Δεν μπορεί ποτέ να γίνει ταυτότητα, γιατί αυτό θα χρειαζόταν και το δεξί μέλος να μηδενιστεί, όμως εδώ είναι πάντα 3, ποτέ 0.