Εφαρμογές Μαθηματικών · Γεωμετρία · Κεφ. 2 · §2.3

Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών

Θεωρία

Από το x² + y² = ρ² στο ημ²ω + συν²ω = 1

Ξεκίνα από τη σχέση του Πυθαγόρειου θεωρήματος για το σημείο Μ(x, y) μιας γωνίας ω, με ρ = ΟΜ:

x² + y² = ρ²

Διαίρεσε και τα δύο μέλη με ρ² (επιτρέπεται, αφού ρ > 0 — το Μ είναι πάντα διαφορετικό από το Ο):

x² διά ρ² + y² διά ρ² = 1

Το πρώτο κλάσμα είναι συν²ω και το δεύτερο ημ²ω, αφού συνω = x διά ρ και ημω = y διά ρ. Άρα, για κάθε γωνία ω, χωρίς καμία εξαίρεση:

ημ²ω + συν²ω = 1

Αυτή είναι η πρώτη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα. Στην εφαρμογή («ημ²ω + συν²ω = 1»), τα τετράγωνα πάνω στις πλευρές του τριγώνου ΟΚΜ δείχνουν ακριβώς αυτή την ισότητα εμβαδών.

Γρήγορος έλεγχος: για ω = 30°, ημ30° = 1 διά 2 και συν30° = √3 διά 2. Επαλήθευσε ότι ημ²30° + συν²30° = 1.

Η εφω από το ημω και το συνω

Στο §2.1 όρισες εφω = y διά x (με x ≠ 0), δηλαδή στον μοναδιαίο κύκλο εφω = ΚΜ διά ΟΚ. Θα δεις τώρα ότι αυτό είναι ακριβώς το πηλίκο ημω διά συνω. Στην εφαρμογή («Η εφω από ημω και συνω»), φέρε την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α(1, 0) — μια κατακόρυφη ευθεία x = 1 — και προέκτεινε την ΟΜ μέχρι να τη συναντήσει σε ένα σημείο Τ. Τα τρίγωνα ΟΚΜ και ΟΑΤ είναι όμοια (ίδιες γωνίες, αφού ΚΜ και ΑΤ είναι και οι δύο κάθετες στον άξονα x′x), οπότε οι αντίστοιχες πλευρές τους είναι ανάλογες:

ΑΤ διά ΟΑ = ΚΜ διά ΟΚ

Το ΟΑ = 1 (ακτίνα του μοναδιαίου κύκλου), το ΚΜ = ημω και το ΟΚ = συνω, οπότε το ΑΤ (με το πρόσημό του) είναι ακριβώς το εφω. Καταλήγεις στη δεύτερη βασική ταυτότητα:

εφω = ημω διά συνω (όταν συνω διάφορο του 0)

Χρειάζεται συνω ≠ 0, όπως ήδη ήξερες: στις 90° το συνω μηδενίζεται, η ΟΜ γίνεται παράλληλη στην εφαπτομένη x = 1 και δεν τη συναντά πουθενά — το εφ90° δεν ορίζεται.

Σκέψου: στην εφαρμογή, τι παθαίνει το σημείο Τ όταν το ω περάσει τις 90°;

Βρίσκω τους άλλους δύο αριθμούς όταν ξέρω το συνω

Η ίδια μέθοδος δουλεύει αντίστροφα. Αν ξέρεις το συνω, λύνεις την ταυτότητα ως προς ημ²ω:

ημ²ω = 1 − συν²ω

Εδώ όμως δεν χρειάζεται να σκεφτείς αν η γωνία είναι οξεία ή αμβλεία: για 0° ≤ ω ≤ 180° το ημω δεν είναι ποτέ αρνητικό, οπότε παίρνεις πάντα τη θετική ρίζα. Το πρόσημο του συνω, αντίθετα, σου λέει κατευθείαν το είδος της γωνίας: αν σου δώσουν συνω < 0, η γωνία είναι ήδη αμβλεία.

Βρίσκω τους άλλους δύο αριθμούς όταν ξέρω το εφω

Αυτή η περίπτωση χρειάζεται ένα επιπλέον βήμα, γιατί το εφω δεν μπαίνει απευθείας στην πρώτη ταυτότητα. Ξεκίνα από τον ορισμό εφω = ημω διά συνω και λύσε ως προς ημω:

ημω = εφω · συνω

Αντικατέστησε αυτό στην ημ²ω + συν²ω = 1: μένει μια εξίσωση με μοναδικό άγνωστο το συνω, την οποία λύνεις. Το πρόσημο του συνω βρίσκεται από το πρόσημο του εφω: αφού το ημω δεν είναι ποτέ αρνητικό (0° ≤ ω ≤ 180°), το εφω και το συνω έχουν πάντα το ίδιο πρόσημο — εφω > 0 σημαίνει οξεία γωνία, εφω < 0 σημαίνει αμβλεία.

Συχνό λάθος: να προσπαθείς να βάλεις το εφω κατευθείαν στην ταυτότητα ημ²ω + συν²ω = 1, σαν να ήταν ημω ή συνω. Το εφω δεν εμφανίζεται εκεί· πρέπει πρώτα να το μετατρέψεις σε ημω = εφω · συνω και μετά να αντικαταστήσεις.

Αποδεικνύω μια απλή ταυτότητα

Με τις δύο βασικές ταυτότητες μπορείς να αποδείξεις κι άλλες ισότητες ανάμεσα σε τριγωνομετρικούς αριθμούς, χωρίς να ξέρεις καμία τιμή της γωνίας ω. Η δουλειά συνήθως ξεκινά από το πιο «περίπλοκο» μέλος και καταλήγει στο απλούστερο, χρησιμοποιώντας το ημ²ω + συν²ω = 1 στη μέση.

Σειρά σου: χρησιμοποίησε το αποτέλεσμα του παραδείγματος 4 για να υπολογίσεις γρήγορα το γινόμενο (1 − συν60°) · (1 + συν60°), χωρίς να πολλαπλασιάσεις τις παρενθέσεις.

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής, απάντησε πρώτα στην ερώτηση πρόβλεψης για το ημ²ω + συν²ω. Μετά άλλαξε το ρυθμιστικό «ω =» και παρακολούθησε την περιοχή πληροφοριών να επαληθεύει το άθροισμα σε κάθε γωνία.
2. Στο ίδιο «Δείξε», σύρε το σημείο Μ πάνω στο τόξο αντί να χρησιμοποιήσεις το ρυθμιστικό, και παρατήρησε τα δύο μικρά τετράγωνα να αλλάζουν μέγεθος αντίθετα, ενώ το άθροισμά τους μένει σταθερό.
3. Άλλαξε το «Δείξε» σε «Η εφω από ημω και συνω» και ρύθμισε το ω κοντά στις 90°: δες το σημείο Τ να απομακρύνεται όλο και περισσότερο, και τι γράφει η περιοχή πληροφοριών ακριβώς στις 90°.
4. Άλλαξε το «Δείξε» σε «Υπολόγισε»: διάβασε ποιος αριθμός της γωνίας δίνεται, και πάτα «Επόμενο βήμα» διαδοχικά μέχρι να βρεις τους άλλους δύο. Δοκίμασε και το «Όλα τα βήματα» και το «Από την αρχή».
5. Στο «Υπολόγισε», πάτα «Νέα άσκηση» μερικές φορές: κάθε φορά δίνεται άλλος αριθμός (ημω, συνω ή εφω) — πριν δεις τα βήματα, σκέψου μόνος/-η σου ποια μέθοδο θα χρησιμοποιήσεις.

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Ποια από τις δύο βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ισχύει για κάθε γωνία ω χωρίς καμία εξαίρεση, και ποια χρειάζεται μια επιπλέον προϋπόθεση; Ποια είναι αυτή η προϋπόθεση;

   Λύση

   Η ημ²ω + συν²ω = 1 ισχύει πάντα. Η εφω = ημω διά συνω χρειάζεται συνω ≠ 0.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Αν ημω = 1, πόσο είναι το συνω, και ορίζεται το εφω;

   Λύση

   Από την ταυτότητα, συν²ω = 1 − 1 = 0, άρα συνω = 0 (η γωνία είναι 90°). Αφού συνω = 0, το εφω δεν ορίζεται.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Για την οξεία γωνία ω ισχύει ημω = 7 διά 25. Βρες το συνω και το εφω.

   Λύση

   συν²ω = 1 − 49 διά 625 = 576 διά 625, και η ω είναι οξεία, άρα συνω = 24 διά 25. εφω = 7 διά 25 διά 24 διά 25 = 7 διά 24.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Για τη γωνία ω ισχύει συνω = −5 διά 13. Βρες το ημω, το εφω, και πες αν η ω είναι οξεία ή αμβλεία.

   Λύση

   Το συνω < 0, άρα η ω είναι αμβλεία. ημ²ω = 1 − 25 διά 169 = 144 διά 169, και αφού ημω ≥ 0: ημω = 12 διά 13. εφω = 12 διά 13 διά −5 διά 13 = −12 διά 5.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ένας μαθητής, γνωρίζοντας ότι εφω = 1, έγραψε «άρα ημω = 1 και συνω = 1, αφού εφω = ημω διά συνω = 1 διά 1». Εξήγησε γιατί αυτό δεν μπορεί να είναι σωστό, και βρες τη σωστή τιμή του ημω και του συνω (η γωνία ω είναι οξεία).

   Λύση

   Το λάθος: ημω = 1 και συνω = 1 δεν επαληθεύουν την ημ²ω + συν²ω = 1 (θα έδιναν 1² + 1² = 2 ≠ 1). Το πηλίκο δύο αριθμών μπορεί να κάνει 1 με άπειρους τρόπους, όχι μόνο ως 1 διά 1 — πρέπει να ισχύουν και οι δύο ταυτότητες μαζί. Σωστά: εφω = 1 ⇒ ημω = συνω. Στην ταυτότητα: συν²ω + συν²ω = 1 ⇒ συν²ω = 1 διά 2, και αφού η ω είναι οξεία, συνω = ημω = √2 διά 2 (η γωνία είναι 45°).