Εφαρμογές Μαθηματικών · Άλγεβρα · Κεφ. 1 · §1.7

Διαίρεση πολυωνύμων

Θεωρία

Η ταυτότητα της διαίρεσης

Για δύο πολυώνυμα Δ(x) και δ(x) (με δ διάφορο του μηδενικού πολυωνύμου), η διαίρεση δίνει πάντα ένα πηλίκο π(x) και ένα υπόλοιπο υ(x) με:

Δ(x) = δ(x) · π(x) + υ(x)

με έναν όρο: ο βαθμός του υ πρέπει να είναι μικρότερος από τον βαθμό του δ (ή υ = 0). Αν δεν ίσχυε αυτό, θα μπορούσες να συνεχίσεις τη διαίρεση κι άλλο. Όταν υ = 0, η διαίρεση είναι τέλεια: Δ = δ · π, δηλαδή το δ είναι παράγοντας του Δ, όπως στην παραγοντοποίηση (§1.6).

Σκέψου: στο 137 : 5 = 27, υπόλοιπο 2, ποιος αριθμός αντιστοιχεί στο Δ, ποιος στο δ, ποιος στο π και ποιος στο υ;

Ο γύρος: διαίρεση, πολλαπλασιασμός, αντίθετο, πρόσθεση

Κάθε γύρος έχει τέσσερα βήματα: διαιρείς τον πρώτο όρο του υπολοίπου μέχρι τώρα με τον πρώτο όρο του δ, πολλαπλασιάζεις το αποτέλεσμα με ολόκληρο το δ, γράφεις το αντίθετο του γινομένου κάτω από τη γραμμή και προσθέτεις όρο προς όρο. Ο γύρος επαναλαμβάνεται μέχρι το υπόλοιπο να πάρει μικρότερο βαθμό από τον δ.

Πότε δεν βγαίνει ακριβώς

Δεν βγαίνει πάντα υπόλοιπο 0. Ο γύρος σταματά μόλις το υπόλοιπο πάρει μικρότερο βαθμό από τον δ, ακόμα κι αν δεν είναι μηδέν.

Οι λείπουσες δυνάμεις γράφονται με το 0

Όταν το Δ δεν έχει όλες τις δυνάμεις του x μέχρι τον βαθμό του, γράφεις τις δυνάμεις που λείπουν με συντελεστή 0, ώστε κάθε δύναμη να έχει τη δική της στήλη. Χωρίς αυτές τις στήλες, ένας όρος μπορεί να προστεθεί στη λάθος δύναμη.

Συχνό λάθος: παραλείπω τις στήλες 0x² και 0x όταν λείπουν από το Δ. Στο x³ − 8 ένας μαθητής που γράφει μόνο τους όρους x³ και −8 (χωρίς τις μηδενικές στήλες) καταλήγει σε λάθος πηλίκο, π.χ. x² − 4, με υ = 0, γιατί σταματά τον γύρο νωρίς αφού δεν βλέπει άλλη στήλη για να συνεχίσει. Ο έλεγχος το πιάνει αμέσως: (x − 2)(x² − 4) = x³ − 2x² − 4x + 8, όχι x³ − 8. Το σωστό πηλίκο είναι x² + 2x + 4 (Λυμένο παράδειγμα 3), με τις στήλες 0x² και 0x γραμμένες από την αρχή.

Ένα δεύτερο συχνό λάθος είναι να προσθέτεις το αντίθετο μόνο στον πρώτο όρο της γραμμής και να αφήνεις τους υπόλοιπους όρους όπως ήταν. Το αντίθετο πρέπει να προστεθεί όρο προς όρο σε ολόκληρη τη γραμμή, στήλη με στήλη, όχι μόνο στον πρώτο όρο.

Το θεώρημα του υπολοίπου

Όταν ο διαιρέτης είναι δ(x) = x − ρ, η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται Δ(x) = (x − ρ) · π(x) + υ. Αν βάλεις x = ρ και στις δύο πλευρές, ο πρώτος όρος δεξιά μηδενίζεται:

Δ(ρ) = (ρ − ρ) · π(ρ) + υ = 0 · π(ρ) + υ = υ

Άρα το υπόλοιπο είναι πάντα Δ(ρ): έναν αριθμό που τον υπολογίζεις αντικαθιστώντας, χωρίς να κάνεις καμία διαίρεση.

Πρόβλεψε: ποιο υπόλοιπο αφήνει η διαίρεση (x³ − 2x² + 3) : (x − 3); Υπολόγισέ το χωρίς να διαιρέσεις.

Επιπλέον — για αργότερα

Το θεώρημα του υπολοίπου ισχύει μόνο όταν ο διαιρέτης έχει τη μορφή x − ρ, βαθμού 1. Για διαιρέτη μεγαλύτερου βαθμού η ταυτότητα Δ = δ · π + υ εξακολουθεί να ισχύει, αλλά χρειάζεται πραγματική διαίρεση. Στο (2x³ + 3x² − x + 4) : (x² + x − 1) ο διαιρέτης έχει βαθμό 2, οπότε το υπόλοιπο μπορεί να έχει βαθμό 0 ή 1: εδώ βγαίνει π(x) = 2x + 1, υ(x) = 5. Έλεγχος με x = 1: Δ(1) = 2 + 3 − 1 + 4 = 8, δ(1) · π(1) + υ(1) = 1 · 3 + 5 = 8.

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής (Διαίρεση «(x² + 3x + 5) : (x + 1)»), απάντησε πρώτα στην ερώτηση πρόβλεψης που εμφανίζεται. Μετά πάτα «Επόμενο βήμα» ένα-ένα και παρακολούθησε τη γραμμή πληροφοριών πάνω, μέχρι να εμφανιστεί το πηλίκο και το υπόλοιπο. Βγήκε ό,τι είχες προβλέψει;
2. Επίλεξε Διαίρεση «(x² + 5x + 6) : (x + 2)» και πάτα «Όλα τα βήματα». Παρατήρησε την τιμή του υ(x) στις γραμμές πληροφοριών. Τι σημαίνει αυτή η τιμή για τη σχέση ανάμεσα στο x + 2 και το Δ;
3. Επίλεξε Διαίρεση «(x³ − 8) : (x − 2)». Πριν πατήσεις τίποτα, κοίταξε την πρώτη γραμμή κάτω από το Δ: βλέπεις στήλες με συντελεστή 0. Γιατί χρειάζονται αυτές οι στήλες, ενώ το πολυώνυμο x³ − 8 δεν τις έχει γραμμένες;
4. Επίλεξε Διαίρεση «(x³ − 2x² + 3) : (x − 3)» και πάτα «Όλα τα βήματα». Στις γραμμές πληροφοριών θα δεις μια τελευταία γραμμή με χρώμα διαφορετικό από τις άλλες, που δείχνει το Δ(ρ). Σύγκρινέ την με τη γραμμή υ(x) από πάνω της.
5. Επίλεξε «Δική μου: Δ : (x − ρ)». Ρύθμισε τα ρυθμιστικά των συντελεστών και το ρ όπως θέλεις, και πρόβλεψε το υπόλοιπο υπολογίζοντας Δ(ρ) στο χαρτί, πριν πατήσεις «Επόμενο βήμα». Μετά έλεγξέ το με τη γραμμή «έλεγχος για x =» ρυθμισμένη στο ρ που διάλεξες.

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Γράψε το πολυώνυμο x³ − 5 με όλες τις δυνάμεις του x μέχρι το x⁰, συμπληρώνοντας τις λείπουσες με 0.

   Λύση

   x³ + 0x² + 0x − 5. Λείπουν οι δυνάμεις x² και x, γι' αυτό γράφονται με συντελεστή 0.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Στη διαίρεση (2x² + 3x − 1) : (x − 1), χωρίς να διαιρέσεις: ποιος είναι ο βαθμός του πηλίκου, και ποιος ο μεγαλύτερος δυνατός βαθμός του υπολοίπου;

   Λύση

   Ο Δ έχει βαθμό 2, ο δ βαθμό 1, άρα το πηλίκο έχει βαθμό 2 − 1 = 1. Το υπόλοιπο πρέπει να έχει βαθμό μικρότερο από τον βαθμό του δ (1), άρα βαθμό 0: είναι απλώς ένας αριθμός (ή μηδέν).

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Κάνε τη διαίρεση (x² − x − 6) : (x − 3).

   Λύση

   x² : x = x, x · (x − 3) = x² − 3x, αντίθετο −x² + 3x, άθροισμα 2x − 6. Μετά 2x : x = 2, 2 · (x − 3) = 2x − 6, αντίθετο −2x + 6, άθροισμα 0. π(x) = x + 2, υ(x) = 0. Έλεγχος με x = 1: Δ(1) = 1 − 1 − 6 = −6, (1 − 3)(1 + 2) = −6.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Κάνε τη διαίρεση (x² + 2x − 1) : (x + 3) και επαλήθευσε το υπόλοιπο με το θεώρημα του υπολοίπου.

   Λύση

   x² : x = x, x · (x + 3) = x² + 3x, αντίθετο −x² − 3x, άθροισμα −x − 1. Μετά −x : x = −1, −1 · (x + 3) = −x − 3, αντίθετο x + 3, άθροισμα 2. π(x) = x − 1, υ(x) = 2. Θεώρημα υπολοίπου: δ = x − (−3), άρα ρ = −3, και Δ(−3) = 9 − 6 − 1 = 2: ίδιο υπόλοιπο.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Χωρίς να κάνεις τη διαίρεση, βρες το υπόλοιπο της (x³ − 4x + 1) : (x − 2). Είναι το x − 2 παράγοντας του Δ;

   Λύση

   ρ = 2. Δ(2) = 2³ − 4 · 2 + 1 = 8 − 8 + 1 = 1. Το υπόλοιπο είναι 1, όχι 0, άρα το x − 2 δεν είναι παράγοντας του Δ.