Εφαρμογές Μαθηματικών · Άλγεβρα · Κεφ. 1 · §1.9–1.10

Ρητές παραστάσεις και πράξεις

Θεωρία

Τι είναι μια ρητή παράσταση

Ένα κλάσμα όπως 8 διά 12 είναι πηλίκο δύο ακεραίων. Μια ρητή παράσταση είναι το ίδιο, με πολυώνυμα στη θέση των ακεραίων, π.χ. x + 3 διά x² − 4. Ο αριθμητής μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, όμως ο παρονομαστής όχι: εκεί που γίνεται 0, η παράσταση δεν ορίζεται, όπως και ένα κλάσμα με παρονομαστή 0 δεν έχει νόημα στους αριθμούς.

Οι τιμές του x για τις οποίες ο παρονομαστής μηδενίζεται λέγονται περιορισμοί της παράστασης. Τους βρίσκεις παραγοντοποιώντας τον παρονομαστή (§1.6) και εξισώνοντας κάθε παράγοντα με το 0.

Στην παράσταση x διά (x − 3)(x + 4), ο παρονομαστής μηδενίζεται όταν x − 3 = 0 ή x + 4 = 0, δηλαδή στο x = 3 ή στο x = −4. Γράφουμε: x ≠ 3, x ≠ −4.

Σκέψου: αν ο παρονομαστής ήταν (x − 3)² αντί για (x − 3)(x + 4), θα άλλαζε το σύνολο των τιμών που απαγορεύονται;

Απλοποίηση: διαγραφή κοινών παραγόντων

Για να απλοποιήσεις μια ρητή παράσταση, παραγοντοποιείς πρώτα αριθμητή και παρονομαστή (§1.6), και μετά διαγράφεις έναν παράγοντα κοινό σε ολόκληρο τον αριθμητή και ολόκληρο τον παρονομαστή. Ποτέ δεν διαγράφεις έναν όρο μέσα σε ένα άθροισμα, μόνο έναν ολόκληρο παράγοντα ενός γινομένου.

Η απλοποιημένη μορφή δίνει την ίδια τιμή με την αρχική για κάθε x εκτός από τους περιορισμούς. Εκεί η αρχική παράσταση δεν ορίζεται, ενώ η απλοποιημένη συνήθως δίνει κανονικά μια τιμή.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: ποιο είναι το πρώτο βήμα για να απλοποιήσεις μια ρητή παράσταση;

Συχνά λάθη στην απλοποίηση

Συχνό λάθος: διαγραφή ενός όρου αντί για έναν ολόκληρο παράγοντα. Στο x² + 1 διά x + 1, μερικοί «διαγράφουν» ένα x από πάνω και ένα x από κάτω και καταλήγουν σε x· στο x + 3 διά x κάνουν το ίδιο και καταλήγουν σε 3. Και τα δύο είναι λάθος: το x² + 1 δεν έχει τον x + 1 σαν παράγοντα (δεν παραγοντοποιείται καθόλου με πραγματικούς αριθμούς), και το x + 3 δεν έχει το x σαν παράγοντα. Συμβαίνει όταν βλέπεις ένα κοινό γράμμα και το διαγράφεις χωρίς να έχεις παραγοντοποιήσει τίποτα. Ο έλεγχος είναι άμεσος: δοκίμασε έναν αριθμό. Για x = 2, το x² + 1 διά x + 1 δίνει 5 διά 3 ≈ 1,67, όχι 2 όπως θα έδινε το «λάθος» x. Μια πραγματική απλοποίηση πρέπει να δίνει την ίδια τιμή για κάθε επιτρεπτό x, όχι μόνο για κάποιο τυχερό.

Ένα άλλο συχνό λάθος είναι να ξεχνάς τους περιορισμούς αφού απλοποιήσεις. Στο πρώτο λυμένο παράδειγμα γράφεις x² − 5x + 6 διά x² − 4 = x − 3 διά x + 2, αλλά αυτό ισχύει μόνο για x ≠ 2, x ≠ −2. Χωρίς αυτή τη σημείωση, η ισότητα δείχνει σαν να ισχύει παντού, ενώ στο x = 2 η αρχική παράσταση δεν έχει καν νόημα.

Πράξεις: πολλαπλασιασμός, διαίρεση, πρόσθεση, αφαίρεση

Ο πολλαπλασιασμός δύο ρητών παραστάσεων γίνεται όπως στα κλάσματα αριθμών: πολλαπλασιάζεις αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή, και μετά απλοποιείς το αποτέλεσμα όπως πριν. Η διαίρεση γίνεται πολλαπλασιάζοντας με το αντίστροφο κλάσμα, δηλαδή με αριθμητή και παρονομαστή αντεστραμμένα.

Π.χ. x διά x + 1 · x + 1 διά x² = x(x + 1) διά x²(x + 1) = 1 διά x, x ≠ 0, x ≠ −1.

Η πρόσθεση και η αφαίρεση χρειάζονται κοινό παρονομαστή, το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών (§1.8). Κάθε αριθμητής πολλαπλασιάζεται με τον παράγοντα που λείπει από τον δικό του παρονομαστή για να φτάσει στο Ε.Κ.Π.

Πρόσεχε το πρόσημο: x − 2 και 2 − x δεν είναι ο ίδιος παράγοντας, όμως διαφέρουν μόνο κατά το πρόσημο, 2 − x = −(x − 2). Αν το προσέξεις αυτό, ξαναγράφεις το ένα κλάσμα με τον ίδιο παρονομαστή με το άλλο, χωρίς να χρειάζεσαι δύο ξεχωριστούς παράγοντες στο Ε.Κ.Π.

Πρόβλεψε: στο άθροισμα 2 διά x − 3 + 5 διά 3 − x, οι δύο παρονομαστές μοιάζουν διαφορετικοί. Χρειάζονται πραγματικά ξεχωριστό Ε.Κ.Π., ή κρύβεται κάτι απλούστερο;

Επιπλέον — για αργότερα

Το ίδιο Ε.Κ.Π. χρησιμοποιείται αργότερα σε εξισώσεις με ρητές παραστάσεις: πολλαπλασιάζεις και τις δύο πλευρές με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών για να απαλείψεις τα κλάσματα, αλλά ελέγχεις πάντα τη λύση σου ενάντια στους περιορισμούς· μια «λύση» που συμπίπτει με έναν περιορισμό απορρίπτεται. Το ίδιο σκεπτικό δουλεύει και με τρεις ή περισσότερες ρητές παραστάσεις μαζί, όπως και με τρεις αριθμούς στο Ε.Κ.Π. (§1.8).

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής (Πράξη: Απλοποίηση, Δείξε: Πίνακας τιμών, πρώτη Παράσταση), η γραμμή περιορισμών δείχνει x ≠ 1. Βρες στη στήλη x = 1 ποιο κελί είναι γραμμωτό, στη γραμμή «αρχική» ή στη γραμμή «απλοποιημένη», και ποια τιμή δίνει η άλλη γραμμή εκεί.
2. Άλλαξε το «Δείξε» σε Γραφική παράσταση. Εμφανίζεται μια κάρτα πρόβλεψης: διάλεξε απάντηση πριν κοιτάξεις τη γραφική παράσταση, μετά έλεγξέ την στο σημείο x = 1.
3. Επίλεξε την Παράσταση με αριθμητή x² − 6x + 9 και παρονομαστή x² − 9. Ποιος παράγοντας εμφανίζεται διαγραμμένος και στις δύο σειρές πάνω, και ποιοι δύο περιορισμοί μένουν στη γραμμή κάτω;
4. Επίλεξε την τελευταία Παράσταση, με αριθμητή x² + 1 και παρονομαστή x + 1. Κανένας παράγοντας δεν είναι διαγραμμένος. Γιατί δεν μπορεί να απλοποιηθεί αυτή η παράσταση; Μετά πάτα «Νέο παράδειγμα» μερικές φορές και, πριν αλλάξεις το «Δείξε» για να ελέγξεις, προσπάθησε να μαντέψεις αν η νέα παράσταση απλοποιείται.
5. Άλλαξε το «Πράξη» σε Πρόσθεση και επίλεξε το άθροισμα 1 διά x + 1 + 2 διά x² − 1. Ποιο Ε.Κ.Π. εμφανίζεται, και ποιο από τα δύο κλάσματα δεν χρειάζεται να πολλαπλασιαστεί με τίποτα;

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Στην παράσταση x + 5 διά (x − 1)(x + 4), για ποιες τιμές του x δεν ορίζεται;

   Λύση

   Ο παρονομαστής μηδενίζεται όταν x − 1 = 0 ή x + 4 = 0, δηλαδή στο x = 1 ή στο x = −4.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Ο αριθμητής μιας παράστασης είναι ήδη παραγοντοποιημένος: (x − 2)(x + 3), και ο παρονομαστής (x − 2)(x − 5). Ποιος παράγοντας διαγράφεται, ποια είναι η απλοποιημένη μορφή, και ποιοι είναι οι περιορισμοί;

   Λύση

   Διαγράφεται το x − 2. Απλοποιημένη μορφή: x + 3 διά x − 5. Περιορισμοί: x ≠ 2, x ≠ 5 (από τον αρχικό παρονομαστή, πριν διαγραφεί τίποτα).

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Απλοποίησε την παράσταση x² + 3x διά x² − 9 και γράψε τους περιορισμούς της.

   Λύση

   x² + 3x = x(x + 3), x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Κοινός παράγοντας x + 3. x² + 3x διά x² − 9 = x διά x − 3, x ≠ 3, x ≠ −3.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Υπολόγισε το άθροισμα 2 διά x + 1 + 3 διά x − 1 πάνω στο Ε.Κ.Π. των παρονομαστών, και γράψε τους περιορισμούς.

   Λύση

   Ε.Κ.Π. = (x + 1)(x − 1). 2(x − 1) + 3(x + 1) = 2x − 2 + 3x + 3 = 5x + 1. 2 διά x + 1 + 3 διά x − 1 = 5x + 1 διά x² − 1, x ≠ 1, x ≠ −1.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ο Νίκος έγραψε: x² + 4 διά x + 2 = x + 2. Βρες το λάθος του με έναν αριθμητικό έλεγχο στο x = 1, και εξήγησε γιατί αυτή η παράσταση δεν απλοποιείται καθόλου.

   Λύση

   Στο x = 1: η αρχική δίνει 5 διά 3 ≈ 1,67, ο ισχυρισμός του Νίκου δίνει x + 2 = 3. Δεν συμφωνούν, άρα η ισότητα είναι λάθος. Το x² + 4 δεν έχει καμία πραγματική ρίζα, αφού x² ≥ 0 για κάθε x και άρα x² + 4 ≥ 4: δεν παραγοντοποιείται ούτε με το x + 2 ούτε με τίποτα άλλο. Η παράσταση είναι ήδη στην απλούστερή της μορφή· μόνο ο περιορισμός x ≠ −2 ισχύει.