Εφαρμογές Μαθηματικών · Άλγεβρα · Κεφ. 3 · §3.2–3.3

Γραμμικά συστήματα

Θεωρία

Λύση συστήματος: ζεύγος που επαληθεύει και τις δύο

Ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων γράφεται συνήθως έτσι:

α₁x + β₁y = γ₁  (1)

α₂x + β₂y = γ₂  (2)

Λύση του συστήματος είναι κάθε διατεταγμένο ζεύγος (x, y) που επαληθεύει και την (1) και την (2). Δεν αρκεί να επαληθεύει τη μία: αν ένα ζεύγος επαληθεύει μόνο την (1), δεν είναι λύση του συστήματος.

Αυτό είναι διαφορετικό από τη λύση μιας μεμονωμένης εξίσωσης αx + βy = γ, που έχει άπειρα ζεύγη-λύσεις (όλα τα σημεία μιας ευθείας). Ένα σύστημα είναι πιο απαιτητικό: ψάχνει ζεύγη πάνω σε δύο ευθείες μαζί, γι' αυτό έχει πολύ λιγότερες λύσεις: όπως θα δεις παρακάτω, συνήθως μία.

Σειρά σου: είναι το ζεύγος (4, 1) λύση του ίδιου συστήματος x + y = 5, 2x − y = 4;

Γραφική επίλυση: το κοινό σημείο δύο ευθειών

Κάθε εξίσωση του συστήματος παριστάνει μια ευθεία, όπως στην §3.1. Η λύση του συστήματος είναι το σημείο όπου τέμνονται οι δύο ευθείες — αν τέμνονται. Για να το βρεις: σχεδιάζεις τις δύο ευθείες (δύο σημεία η καθεμία, π.χ. οι τομές με τους άξονες) και διαβάζεις τις συντεταγμένες του κοινού σημείου.

Στην εφαρμογή, με την επιλογή «Λύση: Γραφικά» και την προεπιλογή «Μία λύση» (η αρχική κατάσταση) βλέπεις ακριβώς αυτές τις δύο ευθείες, ε₁ συνεχόμενη και ε₂ διακεκομμένη, και το κοινό τους σημείο σημειωμένο με τις συντεταγμένες του.

Πρόβλεψε: αν στην εφαρμογή αυξήσεις το γ₁ (σύρεις την ε₁ πιο πάνω-δεξιά), το κοινό σημείο θα μείνει το ίδιο;

Τρεις περιπτώσεις: μία λύση, αδύνατο, αόριστο

Δύο ευθείες στο επίπεδο μπορούν να βρίσκονται μόνο με τρεις τρόπους μεταξύ τους, άρα και το σύστημα έχει μόνο τρεις πιθανές απαντήσεις:

• Οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο → το σύστημα έχει μία λύση.
• Οι ευθείες είναι παράλληλες, δεν τέμνονται πουθενά → το σύστημα είναι αδύνατο (καμία λύση).
• Οι δύο εξισώσεις παριστάνουν την ίδια ευθεία → το σύστημα είναι αόριστο (άπειρες λύσεις, όλα τα σημεία της ευθείας).

Πολλές φορές το καταλαβαίνεις κοιτάζοντας τις εξισώσεις, πριν καν σχεδιάσεις:

x + y = 2 και x + y = 5: το ίδιο άθροισμα x + y δεν μπορεί να κάνει ταυτόχρονα 2 και 5. Οι ευθείες έχουν την ίδια κλίση (ίδιους συντελεστές x, y) αλλά διαφορετικό σταθερό όρο: είναι παράλληλες. Αδύνατο.

x − y = 1 και 2x − 2y = 2: η δεύτερη εξίσωση είναι ακριβώς η πρώτη πολλαπλασιασμένη επί 2, λέει την ίδια πληροφορία με άλλα νούμερα. Είναι η ίδια ευθεία. Αόριστο.

Και γενικά: αν οι συντελεστές x, y της μιας εξίσωσης είναι οι συντελεστές της άλλης πολλαπλασιασμένοι με τον ίδιο αριθμό, οι ευθείες είναι παράλληλες (αδύνατο) ή ίδιες (αόριστο, όταν πολλαπλασιάζεται με τον ίδιο αριθμό και ο σταθερός όρος). Αλλιώς τέμνονται: μία λύση.

Γρήγορος έλεγχος: το σύστημα x + 2y = 6, x − y = 3 μία λύση, ή είναι αδύνατο ή αόριστο;

Στην εφαρμογή δοκίμασε τις προεπιλογές «Αδύνατο» και «Αόριστο» με την επιλογή «Γραφικά»: στην πρώτη οι δύο ευθείες φαίνονται παράλληλες και δεν σχεδιάζεται κοινό σημείο· στη δεύτερη οι δύο εξισώσεις είναι στην πραγματικότητα η ίδια ευθεία.

Πότε η γραφική λύση δεν αρκεί

Η γραφική μέθοδος δείχνει καθαρά τι είδους λύση έχει το σύστημα, αλλά έχει ένα πρόβλημα: αν το κοινό σημείο δεν πέφτει ακριβώς πάνω σε κόμβο του πλέγματος (π.χ. έχει συντεταγμένη 7 διά 3), το μάτι δεν μπορεί να το διαβάσει με ακρίβεια πάνω στο σχήμα. Γι' αυτό χρειαζόμαστε και αλγεβρικές μεθόδους, που δίνουν τη λύση με ακρίβεια, χωρίς σχήμα: την αντικατάσταση και τους αντίθετους συντελεστές.

Μέθοδος της αντικατάστασης

Η ιδέα: λύνεις τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο (πιο εύκολα όταν έχει συντελεστή 1 ή −1) και αντικαθιστάς αυτή την έκφραση στην άλλη εξίσωση. Έτσι η άλλη εξίσωση μένει με έναν μόνο άγνωστο, και λύνεται όπως στην §3.1.

1. Λύνω μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο (κατά προτίμηση με συντελεστή 1 ή −1).
2. Αντικαθιστώ αυτή την έκφραση στην άλλη εξίσωση.
3. Λύνω την εξίσωση που προκύπτει (έναν άγνωστο).
4. Βρίσκω τον δεύτερο άγνωστο, και επαληθεύω στις αρχικές εξισώσεις.

Συχνό λάθος: βρίσκω y = 5 − x από την (1) και το αντικαθιστώ ξανά στην ίδια (1) — έτσι απλώς επιβεβαιώνω μια ταυτότητα (0 = 0) και δεν προχωράω πουθενά. Η αντικατάσταση γίνεται πάντα στην άλλη εξίσωση.

Στην εφαρμογή, επίλεξε «Λύση: Αντικατάσταση» με το ίδιο σύστημα και πάτα «Επόμενο βήμα» ξανά και ξανά: θα δεις ακριβώς αυτά τα βήματα, και στο τέλος την επαλήθευση και στις δύο εξισώσεις.

Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών

Όταν κανένας συντελεστής δεν είναι 1 ή −1, η αντικατάσταση βγάζει κλάσματα. Πιο βολικό είναι να πολλαπλασιάσεις τη μία ή και τις δύο εξισώσεις ώστε ένας άγνωστος να αποκτήσει αντίθετους συντελεστές στις δύο εξισώσεις — τότε, προσθέτοντας τις εξισώσεις «κατά μέλη» (μέλος με μέλος), αυτός ο άγνωστος εξαφανίζεται.

1. Πολλαπλασιάζω τη μία ή και τις δύο εξισώσεις ώστε ένας άγνωστος να έχει αντίθετους συντελεστές (πολλαπλασιάζω ολόκληρη την εξίσωση, και τα δύο μέλη).
2. Προσθέτω τις δύο εξισώσεις κατά μέλη: ο άγνωστος με τους αντίθετους συντελεστές εξαφανίζεται.
3. Λύνω την εξίσωση που προκύπτει (έναν άγνωστο).
4. Αντικαθιστώ σε μία από τις αρχικές για τον δεύτερο άγνωστο, και επαληθεύω και στις δύο.

Συχνό λάθος: πολλαπλασιάζω μόνο το ένα μέλος της εξίσωσης (π.χ. μόνο το αριστερό) ή ξεχνάω το γ. Όταν πολλαπλασιάζεις μια εξίσωση με έναν αριθμό, πολλαπλασιάζονται και οι τρεις όροι: α, β και γ.

Συμπλήρωσε: στο παράδειγμα 4, αν αντί να πολλαπλασιάσεις την (1) επί 2, ήθελες να εξαφανίσεις το x αντί για το y, με τι θα πολλαπλασίαζες την (1) και με τι την (2);

Όταν προκύπτει αδύνατο ή αόριστο μέσα στη μέθοδο

Και στις δύο αλγεβρικές μεθόδους, όταν εξαφανίζεις έναν άγνωστο μπορεί να φύγει μαζί του και ο άλλος: καταλήγεις σε εξίσωση με μηδενικό συντελεστή, όπως 0x = −3. Τότε το σύστημα δεν έχει μία λύση.

Στο σύστημα x + y = 2  (1), x + y = 5  (2): πολλαπλασιάζω τη (2) επί −1, −x − y = −5, και προσθέτω κατά μέλη: 0x = −3. Όποιο x κι αν βάλεις, το 0x κάνει 0, ποτέ −3: το σύστημα είναι αδύνατο.

Στο σύστημα x − y = 1  (1), 2x − 2y = 2  (2): πολλαπλασιάζω την (1) επί 2 και τη (2) επί −1, 2x − 2y = 2 και −2x + 2y = −2, και προσθέτω κατά μέλη: 0x = 0. Κάθε x την επαληθεύει: το σύστημα είναι αόριστο (κάθε ζεύγος της ευθείας είναι λύση).

Στην εφαρμογή, επίλεξε τις προεπιλογές «Αδύνατο» και «Αόριστο» με την επιλογή «Αντίθετοι συντελεστές» και πάτα «Όλα τα βήματα»: θα δεις ακριβώς αυτά τα βήματα, με την εξήγηση στο τέλος.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: αν προσθέτοντας κατά μέλη καταλήξεις σε 0x = 0, το σύστημα είναι αδύνατο ή αόριστο;

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής (προεπιλογή «Μία λύση», επιλογή «Γραφικά»), βρες το κοινό σημείο των δύο ευθειών στο σχήμα και σύγκρινέ το με το παράδειγμα 2.
2. Επίλεξε «Αντικατάσταση» με το ίδιο σύστημα και πάτα «Επόμενο βήμα» ένα ένα· πριν από κάθε βήμα, πρόβλεψε τι θα δεις.
3. Επίλεξε την προεπιλογή «Χωρίς συντελεστή 1». Δοκίμασε πρώτα «Αντικατάσταση» — τι λέει το πρώτο βήμα; Μετά δοκίμασε «Αντίθετοι συντελεστές» και δες γιατί ταιριάζει καλύτερα εδώ.
4. Επίλεξε «Αδύνατο» στο «Γραφικά» και δες τις παράλληλες ευθείες· μετά στο «Αντίθετοι συντελεστές» πάτα «Όλα τα βήματα» και βρες τη γραμμή 0x = −3.
5. Πάτα «Νέο σύστημα» και προσπάθησε να λύσεις το σύστημα στο χαρτί σου πριν πατήσεις τα βήματα στην εφαρμογή· μετά έλεγξε.

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Στο σύστημα x + y = 7, x − y = 1, έλεγξε αν τα ζεύγη (4, 3) και (2, 5) είναι λύσεις του.

   Λύση

   (4, 3): 4 + 3 = 7 ✓, 4 − 3 = 1 ✓ — είναι λύση. (2, 5): 2 + 5 = 7 ✓, αλλά 2 − 5 = −3 ≠ 1 ✗ — δεν είναι λύση.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Χωρίς να λύσεις πλήρως, πες αν κάθε σύστημα έχει μία λύση, είναι αδύνατο ή αόριστο: α) x + y = 3, 2x + 2y = 6· β) x + y = 3, 2x + 2y = 10· γ) x + y = 3, x − y = 1.

   Λύση

   α) Η δεύτερη είναι η πρώτη επί 2 — ίδια ευθεία: αόριστο. β) Οι συντελεστές της δεύτερης είναι της πρώτης επί 2 (1, 1 → 2, 2), ο σταθερός όρος όμως όχι: 2 · 3 = 6, 6 ≠ 10. Παράλληλες: αδύνατο. γ) Οι συντελεστές 1, −1 δεν είναι οι 1, 1 επί κάποιον αριθμό: τέμνονται, μία λύση.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Λύσε με αντικατάσταση το σύστημα x − y = 2, 2x + y = 13.

   Λύση

   Από την πρώτη: x = 2 + y. Στη δεύτερη: 2(2 + y) + y = 13, δηλαδή 4 + 3y = 13, άρα y = 3 και x = 5. Έλεγχος: 5 − 3 = 2 ✓, 2 · 5 + 3 = 13 ✓.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Λύσε με αντίθετους συντελεστές το σύστημα 2x + 3y = 16, 3x − 2y = −2.

   Λύση

   Πολλαπλασιάζω την πρώτη επί 2 και τη δεύτερη επί 3: 4x + 6y = 32, 9x − 6y = −6. Προσθέτω κατά μέλη: 13x = 26, x = 2. Στην πρώτη: 4 + 3y = 16, y = 4. Έλεγχος: 2 · 2 + 3 · 4 = 16 ✓, 3 · 2 − 2 · 4 = −2 ✓.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Δίνεται το σύστημα x + y = 5, κx + κy = 10, όπου κ ένας αριθμός. Υπάρχει τιμή του κ για την οποία το σύστημα έχει ακριβώς μία λύση; Εξήγησε.

   Λύση

   Όχι, καμία. Η δεύτερη εξίσωση, όσο κι αν είναι το κ (εκτός κ = 0), έχει πάντα ίδιους συντελεστές x, y (και οι δύο ίσοι με κ) όπως η πρώτη (και οι δύο ίσοι με 1): οι ευθείες είναι πάντα παράλληλες ή ίδιες, δεν τέμνονται ποτέ σε ένα σημείο. Για κ = 2 η δεύτερη γίνεται 2x + 2y = 10, δηλαδή η ίδια ευθεία με την πρώτη: αόριστο. Για κάθε άλλη τιμή του κ (και για κ = 0, όπου η δεύτερη γίνεται 0 = 10): αδύνατο.