Εφαρμογές Μαθηματικών · Άλγεβρα · Κεφ. 1 · §1.8

Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. παραστάσεων

Θεωρία

Αριθμοί σε πρώτους παράγοντες

Κάθε αριθμός γράφεται με έναν μοναδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων παραγόντων, ο καθένας υψωμένος σε κάποιον εκθέτη. Ο Μ.Κ.Δ. δύο αριθμών παίρνει μόνο τους κοινούς πρώτους παράγοντες, τον καθένα με τον μικρότερο εκθέτη του. Το Ε.Κ.Π. παίρνει όλους τους πρώτους παράγοντες που εμφανίζονται σε έναν τουλάχιστον αριθμό, τον καθένα με τον μεγαλύτερο εκθέτη του.

Μονώνυμα: το ίδιο, και για τα γράμματα

Σε ένα μονώνυμο υπάρχουν δύο ειδών παράγοντες: ο αριθμητικός (σε πρώτους παράγοντες, όπως πριν) και τα γράμματα, καθένα με τον δικό του εκθέτη. Ο κανόνας δεν αλλάζει: για κάθε παράγοντα ξεχωριστά, ο Μ.Κ.Δ. παίρνει τον μικρότερο εκθέτη που εμφανίζεται (0 αν λείπει από κάποιο μονώνυμο, οπότε ο παράγοντας δεν μπαίνει καθόλου) και το Ε.Κ.Π. τον μεγαλύτερο.

Πολυώνυμα: παραγοντοποίησε πρώτα

Ένα πολυώνυμο δεν είναι ακόμα γραμμένο ως γινόμενο παραγόντων· πρέπει πρώτα να το παραγοντοποιήσεις (§1.6). Μετά, κάθε παράγοντας (π.χ. x, ή ένα διώνυμο όπως x − 1) δουλεύει ακριβώς όπως ένας πρώτος αριθμός: ο Μ.Κ.Δ. παίρνει τους κοινούς παράγοντες με τον μικρότερο εκθέτη, το Ε.Κ.Π. όλους με τον μεγαλύτερο.

Πού χρειάζονται

Το Ε.Κ.Π. γίνεται ο κοινός παρονομαστής όταν προσθέτεις ρητές παραστάσεις με διαφορετικούς παρονομαστές (§1.9–1.10): παίρνεις τον μικρότερο δυνατό παρονομαστή που χωράει και τους δύο. Ο Μ.Κ.Δ. χρησιμεύει στην απλοποίηση: όταν αριθμητής και παρονομαστής έχουν κοινό παράγοντα, τον διαγράφεις διαιρώντας και τους δύο με τον Μ.Κ.Δ. τους.

Συχνό λάθος: Μ.Κ.Δ.(12x²y, 18xy³) = 36x²y³. Αυτό είναι το Ε.Κ.Π., όχι ο Μ.Κ.Δ.: πήρε παντού τον μεγαλύτερο εκθέτη αντί για τον μικρότερο. Συμβαίνει όταν θυμάσαι ότι «παίρνεις τον πιο μεγάλο εκθέτη» χωρίς να θυμάσαι για ποιο από τα δύο ισχύει αυτό. Ο έλεγχος το πιάνει αμέσως: ο Μ.Κ.Δ. πρέπει να διαιρεί κάθε παράσταση, άρα δεν μπορεί να είναι «μεγαλύτερος» από καμία τους. Το 18xy³ : 36x²y³ θα χρειαζόταν αρνητικό εκθέτη στο x· δεν βγαίνει μονώνυμο, άρα το 36x²y³ δεν διαιρεί καν το 18xy³, οπότε δεν μπορεί να είναι ο Μ.Κ.Δ. Το σωστό είναι Μ.Κ.Δ. = 6xy.

Ένα άλλο συχνό λάθος είναι να ξεχάσεις την παραγοντοποίηση σε ένα πολυώνυμο. Στο 2x² − 2x και x² − 1, αν δεν παραγοντοποιήσεις πρώτα, δεν βλέπεις κανέναν κοινό παράγοντα. Παραγοντοποιημένα, 2x² − 2x = 2x(x − 1) και x² − 1 = (x − 1)(x + 1), και ο κοινός παράγοντας x − 1 είναι πια ολοφάνερος.

Επιπλέον — για αργότερα

Ο ίδιος κανόνας δουλεύει με τρεις ή περισσότερες παραστάσεις: για κάθε παράγοντα, ο Μ.Κ.Δ. παίρνει τον μικρότερο εκθέτη ανάμεσα σε όλες τις παραστάσεις (0, δηλαδή εκτός Μ.Κ.Δ., αν λείπει από μία έστω), το Ε.Κ.Π. τον μεγαλύτερο. Στα 4x³, 6x²y και 10xy²: 4 = 2², 6 = 2 · 3, 10 = 2 · 5· μόνο το 2 είναι κοινό και στις τρεις, με μικρότερο εκθέτη 1 (από το 6 και το 10). Το y λείπει από το 4x³, άρα δεν μπαίνει καθόλου στον Μ.Κ.Δ. Μ.Κ.Δ. = 2x, γιατί ο μικρότερος εκθέτης του x στις τρεις παραστάσεις είναι 1 (από το 10xy²).

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής (Παραστάσεις «12 και 18», Βρες: Μ.Κ.Δ.), κοίταξε τις δύο στήλες με πλαίσια. Ποια πλαίσια είναι περιγεγραμμένα με το χρώμα του αποτελέσματος, και ποιο νούμερο δίνουν στη γραμμή του Μ.Κ.Δ.;
2. Χωρίς να αλλάξεις τίποτα άλλο, επίλεξε Παραστάσεις «12x²y και 18xy³» (το «Βρες» μένει στο Μ.Κ.Δ.). Εμφανίζεται μια κάρτα πρόβλεψης: διάλεξε απάντηση πριν κοιτάξεις τα πλακίδια, μετά έλεγξέ την με τις στήλες.
3. Στις ίδιες παραστάσεις, άλλαξε το «Βρες» σε Ε.Κ.Π. Ποιες στήλες άλλαξαν ποιο πλαίσιο είναι τώρα περιγεγραμμένο, και γιατί ο εκθέτης του x πήγε από 1 σε 2;
4. Επίλεξε Παραστάσεις «x² − 1 και x² + 2x + 1». Οι στήλες τώρα δεν είναι αριθμοί αλλά παρενθέσεις. Βρες ποια στήλη είναι κοινή στις δύο γραμμές και με ποιον εκθέτη την παίρνει ο Μ.Κ.Δ.
5. Πάτα «Νέο παράδειγμα» πέντε φορές στη σειρά. Για κάθε ζευγάρι, προσπάθησε να βρεις νοερά τον Μ.Κ.Δ. και το Ε.Κ.Π. πριν αλλάξεις το «Βρες» για να ελέγξεις.

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Το 20 = 2² · 5 και το 30 = 2 · 3 · 5. Ποιοι πρώτοι παράγοντες είναι κοινοί, και με ποιον εκθέτη τον παίρνει ο καθένας στον Μ.Κ.Δ.;

   Λύση

   Κοινοί παράγοντες: το 2 (εκθέτες 2 και 1, μικρότερος 1) και το 5 (εκθέτες 1 και 1, μικρότερος 1). Το 3 δεν είναι κοινός, γιατί δεν εμφανίζεται στο 20. Μ.Κ.Δ.(20, 30) = 2 · 5 = 10.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Συμπλήρωσε: 8 = 2³, 12 = 2² · 3, άρα Ε.Κ.Π.(8, 12) = 2^__ · 3 = __.

   Λύση

   Ο μεγαλύτερος εκθέτης του 2 είναι 3 (από το 8), και το 3 μπαίνει με εκθέτη 1 (μόνο στο 12). Ε.Κ.Π.(8, 12) = 2³ · 3 = 24.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Βρες τον Μ.Κ.Δ. και το Ε.Κ.Π. των 9x²y³ και 15xy.

   Λύση

   9 = 3², 15 = 3 · 5. Αριθμητικό μέρος: Μ.Κ.Δ. = 3, Ε.Κ.Π. = 3² · 5 = 45. Παράγοντας x: εκθέτες 2 και 1 → Μ.Κ.Δ. x, Ε.Κ.Π. x². Παράγοντας y: εκθέτες 3 και 1 → Μ.Κ.Δ. y, Ε.Κ.Π. y³. Μ.Κ.Δ. = 3xy, Ε.Κ.Π. = 45x²y³. Έλεγχος: 3xy · 45x²y³ = 9x²y³ · 15xy = 135x³y⁴.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Βρες τον Μ.Κ.Δ. και το Ε.Κ.Π. των x² − 4 και x² − 4x + 4.

   Λύση

   x² − 4 = (x − 2)(x + 2), x² − 4x + 4 = (x − 2)². Κοινός παράγοντας x − 2, μικρότερος εκθέτης 1: Μ.Κ.Δ. = x − 2. Όλοι οι παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη τους: Ε.Κ.Π. = (x − 2)²(x + 2). Έλεγχος: (x² − 4) : (x − 2) = x + 2.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ο Δημήτρης έγραψε: Μ.Κ.Δ.(6x², 9x) = 18x². Βρες το λάθος με έναν έλεγχο διαιρετότητας, χωρίς να ξαναλύσεις από την αρχή. Μετά γράψε τον σωστό Μ.Κ.Δ.

   Λύση

   Ο Μ.Κ.Δ. πρέπει να διαιρεί και τις δύο παραστάσεις. Το 9x : 18x² θα χρειαζόταν αρνητικό εκθέτη στο x· δεν βγαίνει μονώνυμο, άρα το 18x² δεν διαιρεί καν το 9x. Ο Δημήτρης πήρε τους μεγαλύτερους εκθέτες, δηλαδή υπολόγισε το Ε.Κ.Π. Σωστά: 6 = 2 · 3, 9 = 3², κοινός παράγοντας 3 με μικρότερο εκθέτη 1· το x με μικρότερο εκθέτη 1. Μ.Κ.Δ.(6x², 9x) = 3x.