Εφαρμογές Μαθηματικών · Άλγεβρα · Κεφ. 1 · §1.6

Παραγοντοποίηση

Θεωρία

Η παραγοντοποίηση είναι πολλαπλασιασμός ανάποδα

Στο (x + 2)(x + 3) είδες το ορθογώνιο του πολλαπλασιασμού: πλευρές x + 2 και x + 3, τέσσερα κομμάτια μέσα, άθροισμα x² + 5x + 6. Η παραγοντοποίηση ξεκινά από το άθροισμα x² + 5x + 6 και ψάχνει τις δύο πλευρές που το φτιάχνουν.

Δεν υπάρχει ένας μοναδικός τρόπος να το κάνεις αυτό για κάθε πολυώνυμο· υπάρχουν μερικές μέθοδοι, η καθεμιά για μια ειδική μορφή.

Κοινός παράγοντας

Αν όλοι οι όροι έχουν έναν κοινό παράγοντα, τον βγάζεις έξω από παρένθεση: είναι η επιμεριστική ιδιότητα αντίστροφα.

3x² + 6x = 3x(x + 2)

Ο κοινός παράγοντας μπορεί να είναι αριθμός, το x, ή και τα δύο. Όταν το πολυώνυμο δεν έχει σταθερό όρο (γ = 0), ο κοινός παράγοντας είναι το x:

x² + 4x = x(x + 4)

Όταν ο κοινός παράγοντας είναι αριθμός, τον βγάζεις πρώτο, και μετά παραγοντοποιείς το τριώνυμο που μένει.

Ομαδοποίηση

Μερικές φορές δεν υπάρχει κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους μαζί, αλλά υπάρχει αν τους χωρίσεις σε δύο ζευγάρια. Κάθε ζευγάρι βγάζει τον δικό του κοινό παράγοντα, και τα δύο αποτελέσματα μοιράζονται μια κοινή παρένθεση.

αx + αy + βx + βy = (α + β)(x + y)

Παράδειγμα με αριθμούς: xy + 2x + 3y + 6. Τα δύο πρώτα έχουν κοινό παράγοντα x, τα δύο τελευταία κοινό παράγοντα 3.

xy + 2x + 3y + 6 = x(y + 2) + 3(y + 2) = (x + 3)(y + 2)

Η εφαρμογή δεν καλύπτει αυτή τη μέθοδο· δουλεύει μόνο με τριώνυμα x² + βx + γ. Τη βλέπεις όμως στο βίντεο:

Διαφορά τετραγώνων

Το γινόμενο (x − κ)(x + κ) είναι μια ειδική περίπτωση του τριωνύμου. Όταν το αναπτύσσεις, οι μεσαίοι όροι κx και −κx είναι αντίθετοι και σβήνουν, όπως στον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων:

(x − 3)(x + 3) = x² + 3x − 3x − 9 = x² − 9

Άρα κάθε x² − κ² παραγοντοποιείται αμέσως, χωρίς δοκιμές. Αναγνωρίζεται από το β = 0 (καθόλου μεσαίος όρος) και από το αρνητικό γ που είναι τέλειο τετράγωνο.

Ανάπτυγμα τετραγώνου

Όταν οι δύο πλευρές του ορθογωνίου είναι ίσες (m = n), το τριώνυμο είναι τέλειο τετράγωνο:

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Πρόβλεψε: στο x² + 6x + 9, ποιο ζευγάρι αριθμών m, n με γινόμενο 9 έχει και άθροισμα 6;

Το τριώνυμο x² + βx + γ γενικά

Χωρίς κοινό παράγοντα ή ειδική μορφή, ψάχνεις δύο αριθμούς m, n με άθροισμα β και γινόμενο γ, δοκιμάζοντας τα ζευγάρια ακεραίων με το σωστό γινόμενο μέχρι να βρεις αυτό με το σωστό άθροισμα.

Συχνό λάθος: x² + 5x + 6 = (x + 1)(x + 6). Το γινόμενο 1 · 6 = 6 είναι σωστό, αλλά το άθροισμα 1 + 6 = 7 δεν ταιριάζει με το 5. Συμβαίνει γιατί ψάχνεις ένα ζευγάρι με το σωστό γινόμενο και σταματάς εκεί, χωρίς να ελέγξεις και το άθροισμα. Χρειάζονται και τα δύο ταυτόχρονα: το 2 και το 3 έχουν γινόμενο 6 και άθροισμα 5. Ο έλεγχος με πολλαπλασιασμό το πιάνει αμέσως: (x + 1)(x + 6) = x² + 7x + 6, όχι x² + 5x + 6.

Ένα άλλο συχνό λάθος είναι το πρόσημο: στο x² − x − 6 γράφεται μερικές φορές (x + 3)(x − 2) αντί για το σωστό (x + 2)(x − 3). Το γινόμενο 3 · (−2) = −6 είναι σωστό, όμως το άθροισμα 3 + (−2) = 1 δεν ταιριάζει με το −1: τα δύο νούμερα έχουν το σωστό γινόμενο, αλλά έχουν αλλάξει ρόλο ως προς το πρόσημο.

Όχι κάθε τριώνυμο παραγοντοποιείται με ακέραιους: x² + x + 1 χρειάζεται δύο αριθμούς με γινόμενο 1 και άθροισμα 1. Οι μόνοι ακέραιοι με γινόμενο 1 είναι το 1 και το 1 (άθροισμα 2) ή το −1 και το −1 (άθροισμα −2)· κανένα ζευγάρι δεν δίνει άθροισμα 1. Το τριώνυμο μένει απαραγοντοποίητο. Και εδώ, όπως παντού, κάθε παραγοντοποίηση ελέγχεται πολλαπλασιάζοντας τους παράγοντες ξανά: αν δεν ξαναβγεί το αρχικό πολυώνυμο, κάτι είναι λάθος.

Επιπλέον — για αργότερα

Η παραγοντοποίηση δείχνει και τις λύσεις της εξίσωσης x² + βx + γ = 0: αν x² + βx + γ = (x + m)(x + n), το γινόμενο μηδενίζεται ακριβώς όταν x = −m ή x = −n. Θα το δεις αναλυτικά όταν φτάσεις στις εξισώσεις δευτέρου βαθμού.

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής (Πολυώνυμο «x² + 5x + 6», m = 1, n = 1), σύρε τα ρυθμιστικά «m =» και «n =» μέχρι να κλείσει το ορθογώνιο. Παρακολούθησε τις δύο γραμμές πληροφοριών «m + n = …» και «m · n = …» μέχρι να γίνουν και οι δύο πράσινες. Ποιες τιμές βρήκες;
2. Άλλαξε το Πολυώνυμο σε «x² − x − 6». Πριν αγγίξεις τα ρυθμιστικά, πρόβλεψε: θα είναι τα m, n ομόσημα ή ετερόσημα; Μετά δοκίμασε τιμές μέχρι να κλείσει το ορθογώνιο και έλεγξε την πρόβλεψή σου.
3. Επίλεξε Πολυώνυμο «x² − 9». Παρατήρησε στα πλακίδια πάνω ότι δεν υπάρχει καμία λωρίδα x (το β = 0). Βρες τα m, n που κλείνουν το ορθογώνιο και σύγκρινε τα πρόσημά τους.
4. Επίλεξε Πολυώνυμο «x² + x + 1» και τσέκαρε «Ζευγάρια με γινόμενο γ». Διάβασε όλα τα ζευγάρια με γινόμενο 1: έχει κάποιο άθροισμα 1; Πάτα «Λύση» και δες τι μήνυμα εμφανίζεται.
5. Πάτα «Νέο παράδειγμα» πέντε φορές στη σειρά. Για κάθε πολυώνυμο, προσπάθησε να βρεις τα m, n νοερά πριν πατήσεις «Λύση» για να ελέγξεις.

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Για το τριώνυμο x² + 7x + 10, πες ποια μέθοδο θα χρησιμοποιήσεις και ποιους δύο αριθμούς ψάχνεις (άθροισμα και γινόμενο).

   Λύση

   Δεν έχει κοινό παράγοντα ούτε ειδική μορφή, άρα ψάχνεις δύο αριθμούς με άθροισμα 7 και γινόμενο 10: το 2 και το 5.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Συμπλήρωσε: 4x² + 12x = 4x( ___ ).

   Λύση

   4x² + 12x = 4x(x + 3), γιατί 4x · x = 4x² και 4x · 3 = 12x.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Παραγοντοποίησε το x² − 4x − 12.

   Λύση

   Ζητάμε m, n με άθροισμα −4 και γινόμενο −12: το 2 και το −6. x² − 4x − 12 = (x + 2)(x − 6). Έλεγχος με x = 1: αριστερά 1 − 4 − 12 = −15, δεξιά 3 · (−5) = −15.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Παραγοντοποίησε πλήρως το 3x² − 27.

   Λύση

   Πρώτα κοινός παράγοντας 3: 3x² − 27 = 3(x² − 9). Μετά διαφορά τετραγώνων: 3x² − 27 = 3(x − 3)(x + 3). Έλεγχος με x = 1: αριστερά 3 − 27 = −24, δεξιά 3 · (−2) · 4 = −24.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Η Μαρία έγραψε: x² + 5x + 6 = (x + 1)(x + 6). Βρες το λάθος με έναν έλεγχο για έναν αριθμό, χωρίς να ξαναλύσεις από την αρχή. Μετά γράψε τη σωστή παραγοντοποίηση.

   Λύση

   Έλεγχος με x = 1: αριστερά 1 + 5 + 6 = 12, δεξιά 2 · 7 = 14. Δεν ταιριάζουν, άρα υπάρχει λάθος. Η Μαρία βρήκε ζευγάρι με το σωστό γινόμενο (1 · 6 = 6) αλλά όχι με το σωστό άθροισμα (χρειάζεται 5, όχι 7). Σωστά: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3), και πράγματι 1 + 5 + 6 = 12 = 3 · 4.