Εφαρμογές Μαθηματικών · Άλγεβρα · Κεφ. 4 · §4.1

Η συνάρτηση y = αx²

Θεωρία

Ο πίνακας τιμών και η παραβολή

Η y = αx², με α ≠ 0, είναι συνάρτηση: για κάθε x δίνει ένα μόνο y — υψώνεις το x στο τετράγωνο και πολλαπλασιάζεις επί α. Για α = 1 παίρνεις την πιο απλή περίπτωση, y = x²:

Αν σημειώσεις αυτά τα ζεύγη σε ένα σύστημα αξόνων και τα ενώσεις με μια καμπύλη γραμμή (όχι ευθύγραμμα τμήματα), παίρνεις μια παραβολή: μια καμπύλη σαν κύπελλο, που στενεύει προς τα κάτω και πλαταίνει προς τα πάνω.

Σειρά σου: είναι το σημείο (−1, 3) πάνω στην ίδια καμπύλη y = 3x²; Και το (2, 10);

Κορυφή και άξονας συμμετρίας

Στον πίνακα παραπάνω, το x = −2 και το x = 2 δίνουν το ίδιο y = 4. Δεν είναι τύχη: (−x)² = x² για κάθε x, άρα δύο αντίθετα x δίνουν πάντα το ίδιο y. Γι' αυτό η παραβολή είναι συμμετρική ως προς τον κατακόρυφο άξονα y′y: αυτός λέγεται άξονας συμμετρίας της.

Το χαμηλότερο (ή ψηλότερο) σημείο της παραβολής, εκεί όπου τέμνει τον άξονα συμμετρίας της, λέγεται κορυφή. Για την y = αx² η κορυφή είναι πάντα το Ο(0, 0), γιατί για x = 0 βγαίνει y = 0, όποιο κι αν είναι το α.

Γρήγορος έλεγχος: στην y = 5x², πόσο είναι το y για x = 3 και πόσο για x = −3;

Στην εφαρμογή, σύρε το σημείο Μ πάνω στην καμπύλη (ή μετακίνησέ το με τα βελάκια): το Μ′, με το αντίθετο x, έχει πάντα το ίδιο y με το Μ — αυτή είναι η συμμετρία ως προς τον y′y στην πράξη.

Το πρόσημο του α: ελάχιστο ή μέγιστο

Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν είναι ποτέ αρνητικό: x² ≥ 0 για κάθε x. Αυτό καθορίζει πού βρίσκεται όλη η παραβολή σε σχέση με τον x′x:

• α > 0: η παραβολή είναι πάνω από τον x′x (τον ακουμπά μόνο στο Ο). Η μικρότερη τιμή του y είναι το ελάχιστο, y = 0, στο x = 0.
• α < 0: η παραβολή είναι κάτω από τον x′x (τον ακουμπά μόνο στο Ο). Η μεγαλύτερη τιμή του y είναι το μέγιστο, y = 0, στο x = 0.

Το άνοιγμα της παραβολής: η επίδραση του |α|

Όσο μεγαλύτερο είναι το |α|, τόσο πιο γρήγορα ανεβαίνει το y καθώς απομακρύνεσαι από το 0 — η παραβολή κλείνει (γίνεται πιο στενή). Όσο μικρότερο το |α|, τόσο πιο αργά ανεβαίνει — η παραβολή ανοίγει (γίνεται πιο πλατιά). Το συγκρίνεις πάντα με την y = x².

Στο ίδιο x, η y = 2x² δίνει πάντα διπλάσιο y από την y = x²: τα σημεία της ανεβαίνουν πιο απότομα, άρα η παραβολή είναι πιο κλειστή. Η y = 0,5x² δίνει τη μισή τιμή: ανεβαίνει πιο αργά, άρα είναι πιο ανοιχτή.

Πρόβλεψε: ποια είναι πιο ανοιχτή, η y = 0,5x² ή η y = −3x²;

Στην εφαρμογή, όποτε α ≠ 1, βλέπεις την y = x² ως γκρι διακεκομμένη καμπύλη δίπλα στη δική σου, ακριβώς για αυτή τη σύγκριση.

Η y = −αx²: συμμετρική ως προς τον x′x

Για το ίδιο x, οι συναρτήσεις y = αx² και y = −αx² δίνουν αντίθετα y (το ένα θετικό, το άλλο αρνητικό, ή και τα δύο μηδέν). Δύο σημεία με το ίδιο x και αντίθετα y είναι συμμετρικά ως προς τον οριζόντιο άξονα x′x. Άρα οι δύο παραβολές είναι η μία καθρέφτης της άλλης πάνω στον x′x: η μία ανοίγει προς τα πάνω, η άλλη ακριβώς το ίδιο σχήμα προς τα κάτω.

Γρήγορος έλεγχος: το σημείο Μ(3, 18) είναι πάνω στην y = 2x². Πού βρίσκεται το αντίστοιχο σημείο Μ″ πάνω στην y = −2x²;

Στην εφαρμογή, τσέκαρε το κουτί «Δείξε και την y = −αx²»: εμφανίζεται η δεύτερη παραβολή διακεκομμένη, το σημείο Μ″ κάτω (ή πάνω) από το Μ, και μια κατακόρυφη διακεκομμένη γραμμή που τα ενώνει: ο x′x τη χωρίζει στη μέση.

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση (α = 1), σύρε το ρυθμιστικό α στο 2 και σύγκρινε την καμπύλη με τη γκρι διακεκομμένη y = x² — είναι πιο κλειστή, όπως στο παράδειγμα με τον πίνακα;
2. Βάλε α = 0,5 και δες αν η καμπύλη ανοίγει σε σχέση με την y = x².
3. Βάλε α = −1: δες ότι η καμπύλη περνάει κάτω από τον x′x και τον ακουμπά μόνο στο Ο.
4. Σύρε το σημείο Μ (ή μετακίνησέ το με τα βελάκια) σε ένα x της επιλογής σου· βρες τη στήλη του Μ στον πίνακα τιμών και έλεγξε ότι το Μ′ έχει το αντίθετο x και το ίδιο y.
5. Τσέκαρε το κουτί «Δείξε και την y = −αx²» και δες το Μ″: επιβεβαίωσε ότι έχει το ίδιο x με το Μ και αντίθετο y.

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Είναι τα σημεία (2, 12) και (−1, −3) πάνω στη γραφική παράσταση της y = 3x²;

   Λύση

   (2, 12): 3 · 2² = 12 ✓ — είναι πάνω στην καμπύλη. (−1, −3): 3 · (−1)² = 3, και 3 ≠ −3 ✗ — δεν είναι (το y μιας αx² με α > 0 δεν είναι ποτέ αρνητικό).

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Χωρίς να σχεδιάσεις, βάλε σε σειρά τις y = x², y = 3x² και y = 0,2x² από την πιο ανοιχτή στην πιο κλειστή.

   Λύση

   Πιο ανοιχτή πρώτη, πιο κλειστή τελευταία, σύγκριση με το |α|: y = 0,2x² (|α| = 0,2), y = x² (|α| = 1), y = 3x² (|α| = 3).

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Η παραβολή y = αx² περνάει από το σημείο (3, 18). Βρες το α, και μετά το y για x = −2.

   Λύση

   Αντικαθιστώ: 18 = α · 3² = 9α, άρα α = 2. Η συνάρτηση είναι y = 2x²· για x = −2: y = 2 · 4 = 8.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Δίνεται η y = −0,5x². Έχει ελάχιστο ή μέγιστο, και ποια τιμή; Βρες και το y για x = 4, και έλεγξε ότι ταιριάζει με το πρόσημο που περιμένεις.

   Λύση

   α = −0,5 < 0: μέγιστο y = 0 στο x = 0. Για x = 4: y = −0,5 · 16 = −8 — αρνητικό, όπως περιμένουμε αφού α < 0.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Δύο σημεία πάνω στην ίδια παραβολή y = αx² (α ≠ 0) έχουν το ίδιο y, αλλά διαφορετικό x. Τι μπορείς να πεις για τα δύο x; Θα μπορούσαν να υπάρχουν τρία τέτοια σημεία με το ίδιο y και διαφορετικό x το καθένα;

   Λύση

   Τα δύο x είναι αντίθετα: αν αx₁² = αx₂² με x₁ ≠ x₂, τότε x₁² = x₂², που ισχύει μόνο όταν x₂ = −x₁ (λόγω του άξονα συμμετρίας y′y). Τρία σημεία δεν γίνεται: για κάθε y > 0 (αν α > 0) υπάρχουν ακριβώς δύο x, αντίθετα μεταξύ τους, και για y = 0 μόνο ένα, το x = 0 — ποτέ τρία διαφορετικά.