Εφαρμογές Μαθηματικών · Άλγεβρα · Κεφ. 1 · §1.4

Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων

Θεωρία

Το γινόμενο ως εμβαδόν ορθογωνίου

Θυμήσου πώς πολλαπλασιάζεις έναν αριθμό με ένα άθροισμα: 3 · (20 − 5) = 3 · 20 − 3 · 5. Αυτή είναι η επιμεριστική ιδιότητα: το α(β + γ) = αβ + αγ. Με πολυώνυμα δουλεύει ακριβώς έτσι.

Το μονώνυμο 3x επί το πολυώνυμο 2x − 5 πολλαπλασιάζεται όρο προς όρο: το 3x επί το 2x και το 3x επί το −5. Στην εφαρμογή, με όψη «Πλακίδια» και σταθερό όρο 0 στον πρώτο παράγοντα, η πλευρά αυτή γίνεται ένα μόνο πλακίδιο x, και το ορθογώνιο έχει τόσα κομμάτια όσοι είναι οι όροι του άλλου παράγοντα.

Πολυώνυμο επί πολυώνυμο

Όταν και οι δύο παράγοντες έχουν πάνω από έναν όρο, το ορθογώνιο έχει περισσότερα κομμάτια: (α + β)(γ + δ) = αγ + αδ + βγ + βδ. Τέσσερα κομμάτια, γιατί κάθε πλευρά έχει δύο όρους: 2 · 2 = 4.

Για δύο πολυώνυμα με περισσότερους όρους δουλεύεις το ίδιο: κάθε όρο του πρώτου επί κάθε όρο του δεύτερου, μετά αναγωγή όμοιων όρων.

Συχνό λάθος: (x + 2)(x + 3) = x² + 6. Πολλαπλασιάζεις μόνο τον πρώτο όρο με τον πρώτο και τον τελευταίο με τον τελευταίο, και ξεχνάς τα δύο μεσαία κομμάτια. Το ορθογώνιο όμως έχει τέσσερα κομμάτια, όχι δύο. Για να μην το ξεχνάς, μέτρα τα γινόμενα πριν αρχίσεις: 2 όροι επί 2 όροι κάνουν 4 γινόμενα. Το σωστό είναι x² + 5x + 6 (Λυμένο παράδειγμα 2).

Πρόσημα στο γινόμενο

Κάθε κομμάτι κρατά το πρόσημο των δύο όρων που το φτιάχνουν: (+) · (+) = (+), (+) · (−) = (−), (−) · (−) = (+). Στην εφαρμογή τα αρνητικά κομμάτια είναι μπλε, όπως τα αρνητικά πλακίδια στην πρόσθεση πολυωνύμων.

Πρόβλεψε: στο γινόμενο (x − 3)(x + 2), πόσα από τα τέσσερα κομμάτια θα είναι αρνητικά;

Πότε εξαφανίζονται όροι

Όπως στην πρόσθεση, δύο κομμάτια με την ίδια δύναμη του x μπορεί να είναι αντίθετα και να σβήνουν εντελώς.

Το αποτέλεσμα έχει λιγότερους όρους από όσα κομμάτια είχε το ορθογώνιο. Δεν είναι λάθος: απλώς κάποια κομμάτια ακύρωσαν το ένα το άλλο.

Επιπλέον — για αργότερα

Ο βαθμός του γινομένου είναι το άθροισμα των βαθμών των δύο παραγόντων: το x + 1 είναι 1ου βαθμού, το x² − x + 1 είναι 2ου, και το γινόμενό τους x³ + 1 είναι 3ου. Αυτό ισχύει πάντα, ακόμα κι όταν κάποιοι όροι σβήνουν στη μέση: μόνο ο μεγαλύτερος όρος δεν έχει αντίθετο να τον σβήσει. Θα το ξαναδείς στις αξιοσημείωτες ταυτότητες.

Δραστηριότητες

1. Όψη «Πλακίδια». Βάλε στον πρώτο παράγοντα συντελεστή 1 και σταθερό όρο 2 (δηλαδή x + 2), και στον δεύτερο συντελεστή 1 και σταθερό όρο 3 (x + 3). Μέτρησε τα τέσσερα κομμάτια του ορθογωνίου και σύγκρινέ τα με το Λυμένο παράδειγμα 1.
2. Με τις ίδιες τιμές, πάτα «Όμοιοι όροι». Ποια δύο κομμάτια φωτίζονται μαζί, και ποιο πλήθος όρου δίνουν αθροισμένα;
3. Άλλαξε τον σταθερό όρο του πρώτου παράγοντα σε −3 (x − 3) και του δεύτερου σε 2 (x + 2). Ποια κομμάτια του ορθογωνίου είναι τώρα μπλε (αρνητικά); Υπολόγισε το γινόμενο με το χέρι και έλεγξέ το στις πληροφορίες κάτω από το σχήμα.
4. Πέρασε σε όψη «Πίνακας» και επίλεξε το γινόμενο (x + 1)(x² − x + 1). Πάτα «Όμοιοι όροι» μέχρι να φτάσεις στην ομάδα των x². Τι παρατηρείς για το άθροισμά της; Σύγκρινε με το Λυμένο παράδειγμα 3.
5. Στην ίδια όψη, επίλεξε το γινόμενο (2x + 1)(x² + x − 3). Πριν κοιτάξεις τον πίνακα, πρόβλεψε πόσα κελιά θα έχει. Μετά μέτρα τα κελιά και έλεγξε την πρόβλεψή σου.

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Για το γινόμενο (x² + 3x)(x − 5), πες πόσα κομμάτια (γινόμενα όρου επί όρο) θα προκύψουν πριν την αναγωγή, και ποια δύο απ’ αυτά είναι όμοιοι όροι.

   Λύση

   Ο πρώτος παράγοντας έχει 2 όρους, ο δεύτερος 2 όρους: 2 · 2 = 4 κομμάτια. Είναι τα x³, −5x², 3x², −15x. Όμοιοι όροι είναι το −5x² και το 3x², γιατί έχουν και τα δύο x².

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Βγάλε τις παρενθέσεις: (α) 2x(3x − 4) (β) −3x(x + 5) (γ) x(x² − 2x + 1)

   Λύση

   (α) 6x² − 8x. (β) −3x² − 15x. (γ) x³ − 2x² + x.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Υπολόγισε το γινόμενο (x − 3)(x + 5).

   Λύση

   (x − 3)(x + 5) = x² + 5x − 3x − 15 = x² + 2x − 15. Έλεγχος με x = 1: αριστερά (−2) · 6 = −12, δεξιά 1 + 2 − 15 = −12.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Υπολόγισε το γινόμενο (2x − 1)(x² + 3x − 2).

   Λύση

   2x³ + 6x² − 4x − x² − 3x + 2 = 2x³ + 5x² − 7x + 2. Έλεγχος με x = 1: αριστερά 1 · 2 = 2, δεξιά 2 + 5 − 7 + 2 = 2.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ο Γιάννης έγραψε: (x − 4)(x + 2) = x² − 8. Βρες το λάθος χωρίς να λύσεις από την αρχή, με έναν έλεγχο για έναν αριθμό. Μετά γράψε τη σωστή απάντηση.

   Λύση

   Έλεγχος με x = 1: αριστερά (−3) · 3 = −9, δεξιά 1 − 8 = −7. Δεν ταιριάζουν, άρα υπάρχει λάθος. Ο Γιάννης πολλαπλασίασε μόνο πρώτο επί πρώτο και τελευταίο επί τελευταίο, και ξέχασε τα μεσαία κομμάτια 2x και −4x. Σωστά: x² − 2x − 8, και πράγματι 1 − 2 − 8 = −9.