Προσομοιώσεις · Β΄ Γυμνασίου · Μηχανική · Κεφ. 4 · §4.3

Ατμοσφαιρική πίεση

Θεωρία

Ο αέρας έχει βάρος

Στο §4.2 είδαμε ότι ένα υγρό πιέζει επειδή η κολόνα του υγρού που στέκεται από πάνω μας έχει βάρος. Με τον αέρα συμβαίνει το ίδιο: πάνω από κάθε επιφάνεια στέκεται μια κολόνα αέρα που φτάνει ως το τέλος της ατμόσφαιρας, και το βάρος της δίνει την ατμοσφαιρική πίεση.

Υπάρχει όμως μια δυσκολία. Για το νερό ξέραμε την πυκνότητα και το βάθος, και γράφαμε κατευθείαν p = ρ · g · h. Ο αέρας δεν έχει ούτε σταθερή πυκνότητα — αραιώνει όσο ανεβαίνεις — ούτε καθαρή «επιφάνεια» από την οποία να μετρήσεις ύψος. Οπότε η ατμοσφαιρική πίεση δεν υπολογίζεται με τον τύπο· μετριέται.

Και μετριέται με ένα πολύ έξυπνο πείραμα.

Το πείραμα του Τορικέλι

Το 1643 ο Ιταλός Τορικέλι πήρε έναν γυάλινο σωλήνα περίπου ενός μέτρου, κλειστό στη μία άκρη, τον γέμισε ως πάνω με υδράργυρο, έκλεισε με το δάχτυλό του την ανοιχτή άκρη και τον αναποδογύρισε μέσα σε ένα δοχείο με υδράργυρο.

Ο υδράργυρος κατέβηκε λίγο — και σταμάτησε. Η στήλη έμεινε να στέκεται 76 cm πάνω από την επιφάνεια του δοχείου, και στο πάνω μέρος του σωλήνα δημιουργήθηκε ένας άδειος χώρος: κενό, χωρίς αέρα. Αυτό ακριβώς δείχνει η προσομοίωση παραπάνω.

Γιατί σταμάτησε εκεί; Σκέψου την επιφάνεια του υδραργύρου μέσα στο δοχείο:

• Απ’ έξω, πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια, πιέζει ο αέρας με την ατμοσφαιρική πίεση p_ατμ.
• Από μέσα, στο ίδιο ύψος, πιέζει η στήλη του υδραργύρου με ρ · g · h.

Αν ο αέρας πίεζε πιο δυνατά, θα έσπρωχνε κι άλλο υδράργυρο μέσα στον σωλήνα και η στήλη θα ανέβαινε. Αν πίεζε πιο αδύναμα, η στήλη θα κατέβαινε. Ισορροπία σημαίνει ότι οι δύο πιέσεις είναι ίσες:

p_ατμ = ρ · g · h

Ο σωλήνας του Τορικέλι είναι δηλαδή ένα όργανο μέτρησης: μετράς το ύψος της στήλης και βρίσκεις την πίεση του αέρα. Αυτό το όργανο λέγεται βαρόμετρο.

Συχνό λάθος: «Το κενό από πάνω ρουφάει τον υδράργυρο και τον κρατάει ψηλά.» Το κενό δεν ρουφάει τίποτα — είναι το τίποτα. Στην προσομοίωση κατέβασε τον «Αέρα πάνω από το δοχείο» στο μηδέν: το κενό στον σωλήνα είναι ακόμα εκεί, και η στήλη πέφτει. Αυτό που εξαφανίστηκε είναι ο αέρας που την κρατούσε.

Σκέψου: Πριν αναποδογυρίσεις τον σωλήνα, είναι γεμάτος υδράργυρο ως πάνω. Μετά η στήλη στέκεται στα 76 cm. Πού πήγε ο υπόλοιπος υδράργυρος;

Πόση βγαίνει

Βάζουμε τα νούμερα στον τύπο. Ο υδράργυρος έχει ρ = 13.600 kg/m³, το ύψος είναι 76 cm = 0,76 m, και g = 10 N/kg:

p_ατμ = 13.600 · 10 · 0,76 = 103.360 Pa

Δηλαδή περίπου 100.000 Pa, ή με στρογγυλά λόγια 10⁵ πασκάλ. Αυτή είναι η τάξη μεγέθους που αξίζει να θυμάσαι.

Σε βιβλία και σε δελτία καιρού θα δεις και τον αριθμό 101.325 Pa, που λέγεται μία ατμόσφαιρα (1 atm). Είναι η ίδια στήλη των 76 cm, υπολογισμένη όμως με την ακριβή τιμή g = 9,8 N/kg: 13.600 · 9,8 · 0,76 ≈ 101.300 Pa. Εμείς δουλεύουμε με g = 10, όπως όλο το βιβλίο, και βγάζουμε 103.360 Pa. Η διαφορά των δύο είναι περίπου 2%.

Συχνό λάθος: βάζεις το ύψος σε εκατοστά και γράφεις 13.600 · 10 · 76. Βγαίνει 10.336.000 Pa, εκατό φορές μεγαλύτερο από το σωστό. Ο τύπος θέλει μέτρα: 76 cm = 0,76 m.

Σειρά σου: Πόσα μέτρα είναι τα 65 cm; Και πόσα εκατοστά είναι τα 0,8 m;

Τι δεν αλλάζει την ένδειξη

Στον τύπο p = ρgh το h είναι το κατακόρυφο ύψος της στήλης, μετρημένο από την επιφάνεια του δοχείου. Τίποτε άλλο από τη γεωμετρία του σωλήνα δεν μπαίνει μέσα. Τα δύο τελευταία δοκίμασέ τα στην προσομοίωση, με το «Μήκος» και την «Κλίση»:

• Το πάχος του σωλήνα δεν παίζει ρόλο — γι’ αυτό δεν χρειάζεται καν χειριστήριο στην προσομοίωση: το εμβαδόν απλοποιήθηκε όταν βγάλαμε τον τύπο, στο §4.2.
• Το μήκος του σωλήνα δεν παίζει ρόλο, αρκεί να είναι μεγαλύτερος από 76 cm. Το παραπάνω μήκος το καταλαμβάνει απλώς το κενό.
• Η κλίση δεν παίζει ρόλο: αν γείρεις τον σωλήνα, ο υδράργυρος φτάνει πιο μακριά μέσα στον σωλήνα, αλλά το κατακόρυφο ύψος μένει 76 cm.

Υπάρχει ένα όριο, και είναι διδακτικό: αν ο σωλήνας είναι κοντύτερος από 76 cm — ή τόσο γερμένος ώστε η κλειστή του άκρη να βρίσκεται χαμηλότερα από τα 76 cm — τότε ο υδράργυρος δεν έχει πού να κατέβει. Ο σωλήνας μένει γεμάτος ως πάνω, χωρίς κενό, και δεν μετράει πια τίποτα. Στην προσομοίωση κατέβασε το «Μήκος» στα 50 cm και κοίτα τι γράφει δίπλα στον σωλήνα.

Γιατί υδράργυρος και όχι νερό

Ο υδράργυρος δεν διαλέχτηκε τυχαία: είναι το πιο πυκνό υγρό του πίνακα, 13,6 φορές πυκνότερο από το νερό. Όσο πυκνότερο το υγρό, τόσο κοντύτερη η στήλη που χρειάζεται για να ισορροπήσει την ίδια πίεση, γιατί από τον ίδιο τύπο προκύπτει:

h = p διά ρ · g

Πόσο ψηλή στήλη θέλει κάθε υγρό

Για την ίδια ατμοσφαιρική πίεση των 103.360 Pa, με τις πυκνότητες του βιβλίου:

Να γιατί τα πρώτα βαρόμετρα ήταν από υδράργυρο: ένα όργανο 80 cm μπαίνει σε έναν τοίχο, ένα όργανο 11 μέτρων όχι. Για τον ίδιο λόγο, μια αντλία που ρουφά το νερό από πάνω δεν μπορεί να το ανεβάσει από πηγάδι βαθύτερο από περίπου 10 μέτρα — δεν φταίει η αντλία, φταίει ότι ο αέρας δεν μπορεί να σπρώξει το νερό ψηλότερα από αυτό. Γι’ αυτό στα βαθιά πηγάδια η αντλία κατεβαίνει μέσα στο νερό και το σπρώχνει από κάτω.

Η δύναμη που αντιστοιχεί

Η πίεση γίνεται δύναμη μόλις τη βάλεις πάνω σε μια επιφάνεια. Από το §4.1, F = p · A:

Τα ημισφαίρια του Μαγδεβούργου

Το 1654, λίγα χρόνια μετά τον Τορικέλι, ο Γερμανός Όττο φον Γκέρικε έκανε το πιο θεαματικό πείραμα της εποχής. Ένωσε δύο μεταλλικά ημισφαίρια ώστε να σχηματίζουν μια σφαίρα, χωρίς καμία κόλλα και κανένα μάνταλο, και άδειασε τον αέρα από μέσα με μια αντλία. Μετά έζεψε άλογα, μια ομάδα από κάθε πλευρά, και τα έβαλε να τραβήξουν. Τα ημισφαίρια δεν χώρισαν.

Τίποτα δεν τα κρατούσε ενωμένα — εκτός από τον αέρα. Υπολόγισε: αν κάθε ημισφαίριο έχει ακτίνα 20 cm, ο κύκλος όπου ενώνονται έχει εμβαδόν A = 3,14 · 0,2 · 0,2 ≈ 0,126 m². Η ατμόσφαιρα σπρώχνει το κάθε ημισφαίριο προς το άλλο με

F = p · A = 103.360 · 0,126 ≈ 13.000 N

δηλαδή με δύναμη όση το βάρος 1,3 τόνων. Μόλις ο Γκέρικε άνοιγε τη βαλβίδα και ξανάμπαινε ο αέρας, τα ημισφαίρια χώριζαν με το χέρι. Είναι η ίδια ιστορία με τη στήλη του υδραργύρου: το κενό δεν κρατά τίποτα — ο αέρας σπρώχνει.

Πού αλλάζει η ατμοσφαιρική πίεση

Τα 76 cm δεν είναι νόμος της φύσης· είναι μια μέτρηση στην επιφάνεια της θάλασσας. Όσο ανεβαίνεις — σε βουνό, σε ψηλό κτήριο, σε αεροπλάνο — λιγότερος αέρας μένει από πάνω σου, άρα η ατμοσφαιρική πίεση μικραίνει και η στήλη του βαρομέτρου κατεβαίνει. Γι’ αυτό το βαρόμετρο χρησιμεύει και ως υψόμετρο.

Αλλάζει και με τον καιρό, στο ίδιο σημείο: όταν η πίεση ανεβαίνει έχουμε συνήθως αίθριο καιρό, όταν πέφτει έρχεται κακοκαιρία. Οι μετεωρολόγοι δεν λένε «πασκάλ» αλλά εκτοπασκάλ (hPa), όπου 1 hPa = 100 Pa: η μία ατμόσφαιρα των 101.325 Pa είναι 1.013 hPa.

Επιπλέον — για αργότερα

Τώρα κλείνει και το ερώτημα που έμεινε ανοιχτό στο §4.2. Σκέψου ότι πιέζεις με την παλάμη σου ένα τραπέζι, και κάποιος άλλος πιέζει το χέρι σου από πάνω προς την ίδια κατεύθυνση: το τραπέζι δέχεται και τις δύο πιέσεις μαζί. Το ίδιο γίνεται όταν κολυμπάς. Πάνω σου δεν πιέζει μόνο το νερό: πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια της θάλασσας πιέζει και η ατμόσφαιρα, και αυτή η πίεση μεταδίδεται μέσα στο νερό. Η ολική πίεση σε βάθος h είναι το άθροισμα:

p_ολ = p_ατμ + ρ · g · h

Στα 2 μέτρα νερό, για παράδειγμα: 103.360 + 1.000 · 10 · 2 = 123.360 Pa. Πρόσεξε πόσο μεγάλος είναι ο πρώτος όρος — χρειάζεσαι πάνω από 10 μέτρα νερό για να προσθέσεις άλλη μία ατμόσφαιρα.

Δραστηριότητες

1. Πρόβλεψη: Απάντησε πρώτα στην κάρτα «Πρόβλεψη» για το τι κρατά τη στήλη ψηλά. Μετά κατέβασε τον «Αέρα πάνω από το δοχείο» και κοίτα ταυτόχρονα τη στήλη και το κενό από πάνω της.
2. Βάλε τον αέρα στο 100%, 80%, 60%, 40% και 20% με τη σειρά και γράψε κάθε φορά το «Κατακόρυφο ύψος». Πόσα εκατοστά χάνει η στήλη σε κάθε βήμα; Γιατί χάνει τα ίδια κάθε φορά;
3. Με τον αέρα στο 100%, άλλαξε το «Μήκος» από τα 100 ως τα 50 cm. Σε ποια τιμή σταματά η στήλη να είναι 76 cm, και τι εμφανίζεται τότε δίπλα στον σωλήνα;
4. Κράτα το «Μήκος» στα 100 cm και ανέβασε την «Κλίση» στις 30°. Τι κάνει το «Κατακόρυφο ύψος» και τι κάνει το «Μήκος υγρού στον σωλήνα»; Ποιο από τα δύο μπαίνει στον τύπο;
5. Τώρα βάλε «Μήκος» 80 cm και «Κλίση» 30°. Γιατί τώρα το ύψος έπεσε κάτω από τα 76 cm, ενώ ο σωλήνας είναι μεγαλύτερος από 76 cm;
6. Σε αυτή τη θέση σύγκρινε τις δύο γραμμές «p της στήλης» και «Ατμοσφαιρική πίεση». Γιατί τώρα διαφέρουν, ενώ με κατακόρυφο σωλήνα 100 cm είναι ίδιες; Ποια από τις δύο είναι η αλήθεια για τον αέρα γύρω μας;
7. Κοίτα τη γραμμή «Η ίδια πίεση με νερό». Πόσα μέτρα δείχνει με τον αέρα στο 100%; Και στο 50%;
8. Τσέκαρε το «Κρύψε την πίεση και υπολόγισέ την», βάλε τον αέρα στο 70%, υπολόγισε μόνος σου την πίεση από το ύψος και πάτησε Έλεγχος.

Ασκήσεις

Λύσε κάθε άσκηση πρώτα με το χέρι και μετά έλεγξε, όπου γίνεται, στην προσομοίωση. Παντού g = 10 N/kg και ρ_{υδραργύρου} = 13.600 kg/m³.

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Τι υπάρχει πάνω από τη στήλη του υδραργύρου στον σωλήνα του Τορικέλι, και ποιος κρατάει τη στήλη ψηλά;

   Λύση

   Από πάνω υπάρχει κενό — ούτε αέρας ούτε τίποτα άλλο. Τη στήλη την κρατά ο αέρας της ατμόσφαιρας, που πιέζει την ελεύθερη επιφάνεια του υδραργύρου μέσα στο δοχείο. Το κενό δεν τραβάει τίποτα.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Μετάτρεψε σε μέτρα: (α) 76 cm, (β) 38 cm, (γ) 70 cm. Γιατί πρέπει να μπουν σε μέτρα στον τύπο;

   Λύση

   (α) 0,76 m, (β) 0,38 m, (γ) 0,70 m. Πρέπει να μπουν σε μέτρα γιατί η πυκνότητα δίνεται σε kg/m³ και το αποτέλεσμα το θέλουμε σε πασκάλ, δηλαδή N/m²: όλες οι μονάδες πρέπει να είναι του S.I.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένα βαρόμετρο δείχνει στήλη υδραργύρου 76 cm. Πόση είναι η ατμοσφαιρική πίεση;

   Λύση

   76 cm = 0,76 m, άρα p = 13.600 · 10 · 0,76 = 103.360 Pa, περίπου 10⁵ Pa.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Πριν από μια κακοκαιρία η στήλη του βαρομέτρου πέφτει στα 73 cm. Πόση είναι τώρα η ατμοσφαιρική πίεση, και πόσα πασκάλ λιγότερα από τα 76 cm;

   Λύση

   p = 13.600 · 10 · 0,73 = 99.280 Pa. Είναι 103.360 − 99.280 = 4.080 Pa λιγότερα.

5. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Πόση δύναμη ασκεί η ατμόσφαιρα σε ένα τραπέζι με εμβαδόν 0,5 m²; Γιατί το τραπέζι δεν τσακίζει;

   Λύση

   F = p · A = 103.360 · 0,5 = 51.680 N. Δεν τσακίζει γιατί ο αέρας πιέζει και από κάτω με την ίδια δύναμη, οπότε οι δύο δυνάμεις αλληλοεξουδετερώνονται.

6. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ένας μαθητής θέλει να φτιάξει βαρόμετρο με οινόπνευμα (800 kg/m³) αντί για υδράργυρο. Πόσο ψηλό σωλήνα θα χρειαστεί; Εξήγησε με μία πρόταση γιατί βγαίνει τόσο μεγάλος.

   Λύση

   h = 103.360 διά 800 · 10 ≈ 12,9 m. Το οινόπνευμα είναι περίπου 17 φορές αραιότερο από τον υδράργυρο, οπότε χρειάζεται 17 φορές ψηλότερη στήλη για να έχει το ίδιο βάρος πάνω στην ίδια επιφάνεια.

7. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Κολυμβητής κατεβαίνει στα 3 m μέσα στη θάλασσα. (α) Πόση είναι η πίεση μόνο από το νερό; (β) Πόση είναι η ολική πίεση πάνω του; (γ) Σε ποιο βάθος η πίεση του νερού θα γινόταν ίση με την ατμοσφαιρική; Πάρε ρ = 1.000 kg/m³.

   Λύση

   (α) 1.000 · 10 · 3 = 30.000 Pa. (β) 103.360 + 30.000 = 133.360 Pa. (γ) h = 103.360 διά 1.000 · 10 ≈ 10,3 m — το ίδιο ύψος με το βαρόμετρο νερού, και δεν είναι σύμπτωση: και στις δύο περιπτώσεις ζητάμε τη στήλη νερού που ισορροπεί μία ατμόσφαιρα.