Προσομοιώσεις · Β΄ Γυμνασίου · Εισαγωγή · Κεφ. 1 · §1.3

Πυκνότητα υλικών

Θεωρία

Μάζα, όγκος και πυκνότητα

Δύο μεγέθη περιγράφουν πόση ύλη έχει ένα σώμα και πόσο χώρο πιάνει: η μάζα m και ο όγκος V. Η πυκνότητα τα συνδέει: λέει πόση μάζα υπάρχει σε κάθε 1 cm³ (ή σε κάθε 1 m³) του υλικού.

Παράδειγμα: ο σίδηρος έχει πυκνότητα 7,8 g/cm³. Αυτό σημαίνει ότι κάθε κυβικό εκατοστό σιδήρου έχει μάζα 7,8 g. Το νερό έχει 1 g/cm³: κάθε κυβικό εκατοστό νερού έχει μάζα 1 g.

Η πυκνότητα ενός υλικού είναι το πηλίκο της μάζας ενός κομματιού του προς τον όγκο του:

ρ = m διά V

όπου ρ (το γράμμα «ρο») η πυκνότητα, m η μάζα του κομματιού (σε g ή σε kg) και V ο όγκος του (σε cm³ ή σε m³).

Σκέψου: Αν το ρ ενός υλικού είναι μεγαλύτερο, τι σημαίνει για τη μάζα που χωράει σε κάθε κυβικό εκατοστό;

Συχνό λάθος: «Ό,τι είναι βαρύτερο είναι και πυκνότερο.» Η μάζα ενός σώματος εξαρτάται και από το μέγεθός του. Ένα κούτσουρο έχει μεγαλύτερη μάζα από ένα καρφί, αλλά είναι φτιαγμένο από υλικό με μικρότερη πυκνότητα. Για να συγκρίνεις πυκνότητες, χρειάζονται και η μάζα και ο όγκος, όχι μόνο η μάζα.

Πώς μετράμε τη μάζα και τον όγκο

Τη μάζα τη μετράμε με ζυγαριά, συνήθως σε g. Τον όγκο τον βρίσκουμε με δύο τρόπους, ανάλογα με το σώμα.

Κανονικό σχήμα. Ένα ορθογώνιο κομμάτι έχει όγκο μήκος · πλάτος · ύψος. Για παράδειγμα, ένα κομμάτι 5 cm × 4 cm × 2 cm έχει V = 5 · 4 · 2 = 40 cm³.

Ακανόνιστο σχήμα (μια πέτρα, ένα κέρμα). Βάζουμε νερό σε έναν βαθμονομημένο σωλήνα και διαβάζουμε τη στάθμη. Βυθίζουμε το σώμα και διαβάζουμε ξανά. Το νερό ανεβαίνει επειδή το σώμα πιάνει χώρο, άρα ο όγκος του σώματος είναι η άνοδος της στάθμης:

V = V_{τελικός} − V_{αρχικός}

Η μέθοδος δουλεύει όταν το σώμα βυθίζεται ολόκληρο και δεν απορροφά νερό. Στους βαθμονομημένους σωλήνες οι ενδείξεις είναι σε mL, και ισχύει 1 mL = 1 cm³.

Συχνό λάθος: γράφεις ως όγκο του σώματος την τελική ένδειξη του σωλήνα. Αν το νερό ήταν στα 50 mL και ανέβηκε στα 74 mL, ο όγκος του σώματος είναι 24 cm³, όχι 74. Τα 50 mL ήταν νερό, όχι σώμα. Πάντα αφαιρείς την αρχική ένδειξη.

Μονάδες πυκνότητας

Η πυκνότητα είναι μάζα διά όγκο, οπότε η μονάδα της βγαίνει από τη μονάδα μάζας διά τη μονάδα όγκου. Στο Διεθνές Σύστημα (S.I.) είναι το kg/m³. Στην πράξη χρησιμοποιούμε συχνά το g/cm³, γιατί οι αριθμοί βγαίνουν μικροί και εύκολοι.

Ισχύει:

1 g/cm³ = 1.000 kg/m³

Ο λόγος: 1 g = 0,001 kg και 1 cm³ = 0,000001 m³. Το κυβικό εκατοστό είναι ένα εκατομμύριο φορές μικρότερο από το κυβικό μέτρο, ενώ το γραμμάριο είναι μόνο χίλιες φορές μικρότερο από το χιλιόγραμμο. Άρα:

1 g/cm³ = 0,001 kg διά 0,000001 m³ = 1.000 kg/m³

• Από g/cm³ σε kg/m³: πολλαπλασιάζεις επί 1.000. Ο σίδηρος: 7,8 g/cm³ = 7.800 kg/m³.
• Από kg/m³ σε g/cm³: διαιρείς με το 1.000. Το αλουμίνιο: 2.700 kg/m³ = 2,7 g/cm³.

Σειρά σου: Το νερό έχει 1 g/cm³. Πόσα kg/m³ είναι; Πόση μάζα έχει ένα κυβικό μέτρο νερού;

Συχνό λάθος: βάζεις σε έναν τύπο μάζα σε g και όγκο σε m³, ή πυκνότητα σε g/cm³ με όγκο σε m³. Το αποτέλεσμα βγαίνει λάθος κατά χιλιάδες φορές. Πριν υπολογίσεις, γράψε όλα τα μεγέθη στο ίδιο σύστημα: g με cm³ με g/cm³, ή kg με m³ με kg/m³.

Η πυκνότητα ανήκει στο υλικό

Ένα μεγάλο σιδερένιο δοκάρι και μια χούφτα ρινίσματα σιδήρου έχουν πολύ διαφορετική μάζα και όγκο, αλλά την ίδια πυκνότητα, 7.800 kg/m³. Η πυκνότητα δεν είναι χαρακτηριστικό του σώματος αλλά του υλικού.

Αν κόψεις ένα κομμάτι σιδήρου στη μέση, η μάζα του κάθε μισού είναι η μισή και ο όγκος του είναι ο μισός. Το πηλίκο δεν αλλάζει:

ρ = ½ m διά ½ V = m διά V

Πρόβλεψε: Κόβουμε ένα κομμάτι σιδήρου στη μέση. Η πυκνότητα του κάθε μισού θα είναι η μισή, διπλάσια ή η ίδια;

Συχνό λάθος: «Αν το κόψω, θα γίνει λιγότερο πυκνό.» Ο σίδηρος δεν αλλάζει, μόνο η ποσότητά του. Και το αντίστροφο: ένα μεγάλο σώμα δεν έχει μεγάλη πυκνότητα επειδή είναι μεγάλο.

Η ίδια ιδέα φαίνεται στο γράφημα μάζας–όγκου. Κάθε κομμάτι του ίδιου υλικού είναι ένα σημείο (V, m), και όλα τα σημεία πέφτουν σε μία ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων: όταν ο όγκος είναι 0, η μάζα είναι 0. Η κλίση της ευθείας, δηλαδή το πηλίκο m διά V οποιουδήποτε σημείου της, είναι η πυκνότητα ρ. Πιο πυκνό υλικό σημαίνει πιο απότομη ευθεία.

Πάρε τώρα μια φέτα ψωμί και πίεσέ την με την παλάμη σου. Η μάζα της πρακτικά δεν αλλάζει: το μόνο που διώχνεις είναι αέρας, και η μάζα του αέρα είναι αμελητέα μπροστά στη μάζα του ψωμιού. Ο όγκος όμως μίκρυνε πολύ, οπότε η πυκνότητα μεγάλωσε. Το ψωμί δεν είναι συμπαγές υλικό· είναι ψίχα με χιλιάδες τρύπες γεμάτες αέρα, και η πίεση διώχνει τον αέρα. Όταν λέμε ότι η πυκνότητα ανήκει στο υλικό, εννοούμε το ίδιο το υλικό. Ένα σώμα που έχει μέσα του αέρα, σαν το ψωμί ή τον αφρό, αλλάζει πυκνότητα αν το στριμώξεις, γιατί αυτό που φεύγει είναι ο αέρας.

Ο τύπος με τρεις τρόπους

Από τον τύπο ρ = m διά V βγαίνουν άλλοι δύο, με άλγεβρα. Πολλαπλασιάζεις και τα δύο μέλη με V και μετά διαιρείς με ρ:

m = ρ · V

V = m διά ρ

Για να τους θυμάσαι, φαντάσου ένα τρίγωνο με το m από πάνω και τα ρ και V δίπλα δίπλα από κάτω. Κρύψε αυτό που ζητάς και δες τι μένει. Αν κρύψεις το m, μένει ρ · V. Αν κρύψεις το V, μένει το m πάνω από το ρ. Αν κρύψεις το ρ, μένει το m πάνω από το V.

Μάζα ή όγκος από την πυκνότητα

Όταν ξέρεις το υλικό, ξέρεις την πυκνότητά του από τον πίνακα. Τότε, με έναν από τους δύο τύπους, βρίσκεις όποιο από τα δύο μεγέθη δεν έχεις μετρήσει.

Ποιο υλικό είναι;

Από την πυκνότητα μπορείς να μαντέψεις το υλικό ενός σώματος, αν την ψάξεις στον πίνακα. Οι τιμές είναι του βιβλίου, για καθαρά υλικά σε συνηθισμένες συνθήκες.

Έτσι δουλεύεις: μετράς m και V, βρίσκεις το ρ και βλέπεις ποια γραμμή του πίνακα του μοιάζει. Δεν μπορείς όμως να είσαι εντελώς σίγουρος, για τρεις λόγους.

• Δύο υλικά μπορεί να έχουν κοντινές πυκνότητες, όπως το αλουμίνιο (2.700) και το τούβλο (2.600). Διαφέρουν μόνο κατά 4 %.
• Κάθε μέτρηση έχει σφάλμα. Το 9.000 kg/m³ του παραδείγματος 2 δεν είναι ακριβώς του χαλκού, αλλά είναι κοντά.
• Δύο διαφορετικά υλικά μπορεί να έχουν την ίδια πυκνότητα, και τα κράματα ή τα ακάθαρτα υλικά έχουν άλλες τιμές από τα καθαρά του πίνακα.

Γι' αυτό λέμε «το σώμα μπορεί να είναι από αυτό το υλικό». Για βεβαιότητα χρειάζονται και άλλες ιδιότητες, όπως το χρώμα ή αν το σώμα έλκεται από μαγνήτη.

Επιπλέον — για αργότερα

Το αν ένα σώμα επιπλέει ή βυθίζεται εξαρτάται από την πυκνότητά του σε σύγκριση με την πυκνότητα του υγρού· θα το δούμε στο κεφάλαιο 4.

Δραστηριότητες

1. Πρόβλεψη: Απάντησε στην κάρτα «Πρόβλεψη» για το κόψιμο του σιδήρου στη μέση. Μετά διάλεξε «Σίδηρος», βάλε το «Μέγεθος» στο 8 και πάτησε Βύθιση στον σωλήνα. Σημείωσε τα m, V και ρ. Τώρα κάνε το «Μέγεθος» 4, που είναι το μισό, και βύθισε ξανά. Τι έγινε με τη μάζα, τον όγκο και το ρ;
2. Βάλε «Μέγεθος» 4 και δοκίμασε όλα τα υλικά με τη σειρά, με Βύθιση στον σωλήνα κάθε φορά. Ο όγκος είναι ο ίδιος. Σύγκρινε τις μάζες: ποιο υλικό δίνει τη μεγαλύτερη και ποιο τη μικρότερη; Κάθε φορά το ρ (g/cm³) συμφωνεί με τον πίνακα;
3. Διάλεξε «Σίδηρος» και πάτησε Στο γράφημα για τα μεγέθη 1, 3, 5 και 8 (βύθιζε πριν από κάθε φορά). Τι σχήμα σχηματίζουν τα σημεία; Μετά πάτησε Καθάρισμα γραφήματος, βάλε «Χρυσός» και κάνε το ίδιο. Ποια ευθεία είναι πιο απότομη και γιατί;
4. Διάλεξε «Άγνωστο υλικό». Βύθισε το κομμάτι, βρες το ρ σε kg/m³ και γράψε το στο πλαίσιο απάντησης. Πάτησε Έλεγχος. Κοίτα τη γραμμή «Στον πίνακα»: πόσα υλικά εμφανίζονται;
5. Πάτησε Άλλο άγνωστο και μέτρησε ξανά. Μετά άλλαξε το «Μέγεθος» και μέτρησε το ίδιο άγνωστο σε άλλον όγκο. Πώς αλλάζουν τα m και V και πώς το ρ; Τι σου λέει αυτό για το υλικό;

Ασκήσεις

Λύσε κάθε άσκηση πρώτα με το χέρι και μετά έλεγξε, όπου γίνεται, στην προσομοίωση.

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Μια ράβδος αλουμινίου κόβεται σε τρία ίσα κομμάτια. Τι γίνεται η μάζα, ο όγκος και η πυκνότητα κάθε κομματιού σε σχέση με την αρχική ράβδο;

   Λύση

   Η μάζα και ο όγκος κάθε κομματιού είναι το ένα τρίτο των αρχικών. Η πυκνότητα μένει η ίδια, 2.700 kg/m³, γιατί το πηλίκο της μάζας με τον όγκο δεν αλλάζει.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Μετάτρεψε: (α) την πυκνότητα του πάγου, 0,92 g/cm³, σε kg/m³, (β) την πυκνότητα του μολύβδου, 11.300 kg/m³, σε g/cm³.

   Λύση

   (α) 0,92 · 1.000 = 920 kg/m³. (β) 11.300 διά 1.000 = 11,3 g/cm³.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένα κομμάτι μολύβδου έχει όγκο 40 cm³. Ο μόλυβδος έχει 11,3 g/cm³. Πόση είναι η μάζα του;

   Λύση

   m = ρ · V = 11,3 · 40 = 452 g. Οι μονάδες (g/cm³ με cm³) ταιριάζουν, οπότε η μάζα βγαίνει κατευθείαν σε g.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Μια δεξαμενή περιέχει 170 kg πετρελαίου. Το πετρέλαιο έχει πυκνότητα 850 kg/m³. Πόσος είναι ο όγκος του σε m³;

   Λύση

   V = m διά ρ = 170 διά 850 = 0,2 m³. Έλεγχος: 850 · 0,2 = 170 kg.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Το σώμα Α έχει μάζα 500 g και όγκο 250 cm³. Το σώμα Β έχει μάζα 300 g και όγκο 40 cm³. Ποιο έχει μεγαλύτερη μάζα; Ποιο είναι πυκνότερο; Ποιο υλικό του πίνακα μοιάζει με το Β;

   Λύση

   Μεγαλύτερη μάζα έχει το Α. Οι πυκνότητες: ρ_Α = 500 διά 250 = 2 g/cm³ και ρ_Β = 300 διά 40 = 7,5 g/cm³. Πυκνότερο είναι το Β, παρότι έχει μικρότερη μάζα. Το Β μοιάζει με σίδηρο (7,8 g/cm³).