Προσομοιώσεις · Β΄ Γυμνασίου · Μηχανική · Κεφ. 4 · §4.4

Αρχή του Πασκάλ και υδραυλικό πιεστήριο

Θεωρία

Τι λέει η αρχή του Πασκάλ

Ο Γάλλος Μπλεζ Πασκάλ, τον 17ο αιώνα, διατύπωσε τον κανόνα που κρύβεται πίσω από το μπουκάλι και το δίκτυο ύδρευσης:

Κάθε μεταβολή της πίεσης σε ένα σημείο ενός κλεισμένου υγρού που ηρεμεί, μεταδίδεται αμείωτη σε όλα τα σημεία του υγρού.

Τρεις λέξεις σε αυτή την πρόταση κάνουν όλη τη δουλειά:

• Κλεισμένου: το υγρό πρέπει να είναι σε κλειστό δοχείο. Σε ανοιχτή λεκάνη η πίεση που δίνεις απλώς διώχνει υγρό προς τα έξω.
• Αμείωτη: δεν εξασθενεί με την απόσταση. Η μεταβολή φτάνει ίδια και στην πιο μακρινή γωνιά.
• Σε όλα τα σημεία: όχι μόνο προς τα κάτω, αλλά προς κάθε κατεύθυνση — όπως είδαμε και στο §4.2.

Η αρχή ισχύει για όλα τα ρευστά, υγρά και αέρια. Προσοχή: μιλάμε για τη μεταβολή της πίεσης. Η πίεση σε ένα υγρό εξακολουθεί να μεγαλώνει με το βάθος (§4.2)· αυτό που μεταδίδεται παντού ίδιο είναι η επιπλέον πίεση που βάζουμε εμείς.

Από την πίεση στη δύναμη

Βάλε στη σειρά δύο κυλίνδρους ενωμένους από κάτω, γέμισέ τους με υγρό και βάλε από ένα έμβολο στον καθένα — έτσι ξεκινά η προσομοίωση. Στην αρχή τα δύο έμβολα είναι ίδια, και δεν γίνεται τίποτα αξιοσημείωτο: σπρώχνεις το ένα με 100 N και το άλλο σε σπρώχνει πίσω με 100 N.

Φάρδυνε τώρα το δεξί. Το μικρό έμβολο βάζει στο υγρό πίεση

p = F₁ διά A₁

και η αρχή του Πασκάλ τη στέλνει αμείωτη κάτω από το μεγάλο έμβολο. Εκεί η ίδια πίεση δρα πάνω σε εμβαδόν A₂, οπότε δίνει δύναμη

F₂ = p · A₂ = F₁ · A₂ διά A₁

Όσες φορές μεγαλύτερο είναι το έμβολο, τόσες φορές μεγαλύτερη και η δύναμη. Αυτή η διάταξη λέγεται υδραυλικό πιεστήριο.

Συχνό λάθος: «άρα μεγαλώνει και η πίεση». Όχι. Κοίτα τους δύο αριθμούς κάτω από τα έμβολα στην προσομοίωση: μένουν ίδιοι όσο κι αν φαρδύνεις το δεξί. Αυτό που μεγαλώνει είναι η δύναμη, γιατί η ίδια πίεση μαζεύεται από περισσότερα τετραγωνικά εκατοστά. Πίεση και δύναμη δεν είναι το ίδιο πράγμα — το είχαμε δει ήδη στο §4.1.

Σκέψου: Το μεγάλο έμβολο είναι 10 φορές μεγαλύτερο από το μικρό και σπρώχνεις με 50 N. Πόση δύναμη δίνει το μεγάλο;

Πρόσεξε κάτι πρακτικό στη δεύτερη γραμμή: στον λόγο A₂ : A₁ τα cm² απλοποιούνται, οπότε σε αυτόν τον δρόμο δεν χρειάζεται καμία μετατροπή. Προσοχή όμως: αν πας από τον άλλο δρόμο, F₂ = p · A₂, τότε το A₂ πρέπει να μπει σε m² — αλλιώς η απάντηση βγαίνει δέκα χιλιάδες φορές μεγαλύτερη.

Το τίμημα: η διαδρομή

Αν η μηχανή πολλαπλασιάζει τη δύναμη, μήπως κερδίζουμε κάτι από το πουθενά; Όχι. Κοίτα τι συμβαίνει όταν το μικρό έμβολο κατεβαίνει.

Το υγρό δεν συμπιέζεται και δεν χάνεται: όσο φεύγει από τον στενό κύλινδρο, τόσο φτάνει στον φαρδύ. Οι δύο όγκοι είναι ίσοι:

A₁ · d₁ = A₂ · d₂

Άρα το μεγάλο έμβολο ανεβαίνει τόσες φορές λιγότερο, όσες φορές περισσότερο σπρώχνει. Είκοσι φορές μεγαλύτερη δύναμη σημαίνει είκοσι φορές μικρότερη διαδρομή.

Συχνό λάθος: «το υδραυλικό πιεστήριο βγάζει δύναμη από το πουθενά». Βγάζει μεγαλύτερη δύναμη, αλλά σε μικρότερη διαδρομή — και πάντα τόσες φορές μικρότερη όσες φορές μεγαλύτερη είναι η δύναμη. Γι’ αυτό ο υδραυλικός γρύλος θέλει πολλές αντλήσεις για να ανεβάσει το αυτοκίνητο λίγα εκατοστά.

Πόσο φαρδύ είναι το έμβολο

Μια παγίδα της εικόνας: στην προσομοίωση το μεγάλο έμβολο δεν φαίνεται 20 φορές πιο φαρδύ, αν και έχει 20 φορές μεγαλύτερο εμβαδόν. Τα έμβολα είναι στρογγυλά και τα βλέπουμε από το πλάι, οπότε αυτό που βλέπουμε είναι η διάμετρος, όχι το εμβαδόν.

Αν διπλασιάσεις τη διάμετρο ενός κύκλου, το εμβαδόν του γίνεται τέσσερις φορές μεγαλύτερο. Γι’ αυτό κάθε κύλινδρος στην προσομοίωση γράφει από κάτω του το δικό του εμβαδόν σε cm²: ο λόγος διαβάζεται από τους αριθμούς, ποτέ από το πλάτος του σχήματος.

Σειρά σου: Με το ίδιο σπρώξιμο F₁ = 100 N και A₁ = 50 cm², συμπλήρωσε νοερά τον πίνακα παρακάτω πριν τον διαβάσεις: τι δύναμη δίνει ένα έμβολο 200 cm²;

Πού το συναντάς

• Υδραυλικός γρύλος και πιεστήριο: ακριβώς η διάταξη της προσομοίωσης. Το χερούλι σπρώχνει το μικρό έμβολο λίγο λίγο, και το μεγάλο σηκώνει το αυτοκίνητο.
• Ανυψωτικό συνεργείου: ένας αεροσυμπιεστής ανεβάζει την πίεση του αέρα, ο αέρας πιέζει την επιφάνεια του λαδιού σε μια δεξαμενή, και το λάδι μεταφέρει την πίεση στο έμβολο που σηκώνει το αυτοκίνητο. Η πίεση που χρειάζεται δεν είναι τίποτα το εξωτικό — είναι περίπου όση και στα λάστιχα του αυτοκινήτου.
• Φρένα αυτοκινήτου: πατάς ένα πεντάλ και φρενάρουν και οι τέσσερις τροχοί. Η πίεση που βάζεις στο υγρό των φρένων φτάνει αμείωτη και στα τέσσερα, ταυτόχρονα.
• Μπουλντόζες, εκσκαφείς, καρέκλα κομμωτηρίου: όπου βλέπεις χοντρό μεταλλικό κύλινδρο με γυαλιστερή ράβδο, από μέσα δουλεύει η αρχή του Πασκάλ.

Επιπλέον — για αργότερα

Μια διάταξη που πολλαπλασιάζει δύναμη λέγεται απλή μηχανή. Ο μοχλός είναι η πιο παλιά: σπρώχνεις το μακρύ άκρο πολύ, και το κοντό σηκώνει πολλά λίγο. Ο Αρχιμήδης, τον 3ο αιώνα π.Χ., το είχε διατυπώσει ως «δος μοι πα στω και ταν γαν κινάσω» — δώστε μου ένα σημείο να σταθώ και θα κουνήσω τη Γη.

Το υδραυλικό πιεστήριο είναι η ίδια ιδέα με υγρό αντί για ράβδο. Και για τις δύο ισχύει ο ίδιος κανόνας, που θα τον δούμε με αριθμούς στο Κεφ. 5: καμία μηχανή δεν πολλαπλασιάζει την ενέργεια. Πολλαπλασιάζει μόνο τη δύναμη, και το πληρώνει σε διαδρομή.

Δύο ακόμα λεπτομέρειες που η προσομοίωση τις αγνοεί επίτηδες, για να μένει καθαρός ο τύπος: τα έμβολα θεωρούνται αβαρή, και αγνοείται το βάρος του ίδιου του υγρού. Μόλις τα δύο έμβολα βρεθούν σε διαφορετικό ύψος, προστίθεται και ο όρος ρ · g · h του §4.2.

Δραστηριότητες

1. Πρόβλεψη: Απάντησε πρώτα στην κάρτα «Πρόβλεψη» για το τι κάνει η πίεση. Μετά άλλαξε το «Εμβαδόν μεγάλου εμβόλου» και κοίτα μαζί τους δύο αριθμούς κάτω από τα έμβολα και τη γραμμή «F₂».
2. Κράτα F₁ = 100 N και πέρνα όλα τα εμβαδά με τη σειρά: 50, 100, 200, 500, 1.000 cm². Γράψε κάθε φορά τον «Λόγο εμβαδών» και το «F₂». Τι σχέση έχουν οι δύο στήλες;
3. Στην ίδια σειρά, τι έκανε η «Πίεση στο υγρό»; Γιατί;
4. Βάλε «1.000 cm²» και άλλαξε μόνο το «F₁». Διαίρεσε κάθε φορά το F₂ με το F₁. Βγαίνει πάντα ο ίδιος αριθμός — ποιος είναι;
5. Βάλε «500 cm²» και d₁ = 10 cm. Πόσο ανέβηκε το μεγάλο έμβολο; Τώρα πήγαινε στα «1.000 cm²» με το ίδιο d₁: τι έγινε η διαδρομή, και τι έγινε η δύναμη;
6. Βρες έναν συνδυασμό εμβαδού και δύναμης που σηκώνει ακριβώς 200 kg. Υπάρχει και δεύτερος; Τι έχουν κοινό οι δύο;
7. Τσέκαρε το «Κρύψε τη δύναμη F₂», διάλεξε ένα εμβαδόν και μια δύναμη, υπολόγισε μόνος σου το F₂ και πάτησε Έλεγχος. Δοκίμασε τρεις διαφορετικούς συνδυασμούς.

Ασκήσεις

Λύσε κάθε άσκηση πρώτα με το χέρι και μετά έλεγξε, όπου γίνεται, στην προσομοίωση. Παντού g = 10 N/kg.

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Διατύπωσε με δικά σου λόγια την αρχή του Πασκάλ. Γιατί είναι απαραίτητο το υγρό να είναι κλεισμένο σε δοχείο;

   Λύση

   Κάθε μεταβολή της πίεσης σε ένα σημείο κλεισμένου υγρού που ηρεμεί φτάνει αμείωτη σε όλα τα σημεία του. Το δοχείο πρέπει να είναι κλειστό, γιατί διαφορετικά η πίεση που ασκούμε απλώς σπρώχνει το υγρό προς τα έξω αντί να μεταδοθεί μέσα του.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Μετάτρεψε σε m²: (α) 50 cm², (β) 40 cm², (γ) 1.000 cm². Σε ποιον από τους δύο υπολογισμούς — της πίεσης ή της δύναμης F₂ — χρειάζεται αυτή η μετατροπή;

   Λύση

   (α) 0,005 m², (β) 0,004 m², (γ) 0,1 m². Χρειάζεται για την πίεση σε πασκάλ, και για τη δύναμη όταν τη βρίσκεις ως p · A₂. Δεν χρειάζεται μόνο αν δουλέψεις με τον λόγο A₂ : A₁, όπου τα cm² απλοποιούνται.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Σπρώχνεις με 200 N ένα έμβολο 50 cm². Πόση είναι η πίεση στο υγρό, και πόση δύναμη δίνει ένα δεύτερο έμβολο 500 cm²;

   Λύση

   50 cm² = 0,005 m², άρα p = 200 : 0,005 = 40.000 Pa. Ο λόγος είναι 500 : 50 = 10, άρα F₂ = 200 · 10 = 2.000 N.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Μικρό έμβολο 50 cm², μεγάλο 200 cm². Σπρώχνεις με 60 N. Πόση δύναμη παίρνεις και πόσα κιλά σηκώνει;

   Λύση

   Λόγος 200 : 50 = 4, άρα F₂ = 60 · 4 = 240 N, που σηκώνουν 240 : 10 = 24 kg.

5. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Σε πιεστήριο με λόγο εμβαδών 10 : 1 κατεβάζεις το μικρό έμβολο 8 cm. Πόσο ανεβαίνει το μεγάλο;

   Λύση

   d₂ = 8 : 10 = 0,8 cm. Δέκα φορές μεγαλύτερη δύναμη, δέκα φορές μικρότερη διαδρομή.

6. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Υδραυλικός γρύλος έχει μικρό έμβολο 40 cm² και μεγάλο 2.400 cm². (α) Με πόση δύναμη πρέπει να σπρώξεις για να σηκώσεις αυτοκίνητο 1.200 kg; (β) Για να ανέβει το αυτοκίνητο 5 cm, πόσο συνολικά πρέπει να κατέβει το μικρό έμβολο; (γ) Τι σου λέει αυτό για το πώς δουλεύει ένας γρύλος στην πράξη;

   Λύση

   (α) F₂ = 1.200 · 10 = 12.000 N και ο λόγος είναι 2.400 : 40 = 60, άρα F₁ = 12.000 : 60 = 200 N. (β) d₁ = 5 · 60 = 300 cm = 3 m. (γ) Κανένας δεν κατεβάζει ένα έμβολο 3 μέτρα: ο γρύλος κάνει πολλές μικρές αντλήσεις των λίγων εκατοστών, και μια βαλβίδα κρατά το φορτίο ανάμεσα σε δύο αντλήσεις.

7. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Πατάς το φρένο του αυτοκινήτου και φρενάρουν και οι τέσσερις τροχοί ταυτόχρονα. (α) Ποια αρχή το εξηγεί; (β) Αν τα έμβολα στους μπροστινούς τροχούς είναι μεγαλύτερα από τα πίσω, πού ασκείται μεγαλύτερη δύναμη πέδησης και γιατί, αφού η πίεση είναι ίδια παντού;

   Λύση

   (α) Η αρχή του Πασκάλ: η πίεση που βάζει το πεντάλ στο υγρό των φρένων φτάνει αμείωτη σε όλους τους τροχούς. (β) Μπροστά, γιατί η ίδια πίεση πάνω σε μεγαλύτερο εμβαδόν δίνει μεγαλύτερη δύναμη — F = p · A. Ίδια πίεση δεν σημαίνει ίδια δύναμη.