Προσομοιώσεις · Β΄ Γυμνασίου · Μηχανική · Κεφ. 2 · §2.4

Γραφικές παραστάσεις κίνησης

Θεωρία

Μια κίνηση σαν ιστορία

Ένα αμαξάκι ξεκινά από το σημείο αναφοράς, δηλαδή από τη θέση x = 0. Ο άξονας δείχνει προς τα δεξιά, όπως στην §2.1: θετική θέση είναι δεξιά από το σημείο αναφοράς και αρνητική αριστερά. Η ιστορία έχει τρία κομμάτια:

1. πηγαίνει προς τα δεξιά με ταχύτητα 4 m/s για 2 s,
2. στέκεται ακίνητο για 6 s,
3. γυρίζει προς τα αριστερά με ταχύτητα −4 m/s για 2 s.

Για κάθε κομμάτι η μετατόπιση είναι Δx = υ · Δt (§2.3). Βγαίνουν αυτοί οι αριθμοί:

Άρα το αμαξάκι είναι στα 0 m τη στιγμή 0 s, στα 8 m τη στιγμή 2 s, μένει στα 8 m ως τα 8 s και γυρίζει στα 0 m τη στιγμή 10 s.

Πρόβλεψε: Όσο το αμαξάκι στέκεται, η προσομοίωση δείχνει την ένδειξη υ = 0. Πού βρίσκεται και πόση είναι η ταχύτητά του τη στιγμή 5 s;

Το γράφημα θέσης–χρόνου (x–t)

Στο γράφημα x–t ο οριζόντιος άξονας είναι ο χρόνος t (σε s) και ο κατακόρυφος η θέση x (σε m). Κάθε σημείο λέει: «τη στιγμή t το σώμα βρισκόταν στη θέση x». Αν βάλεις τα σημεία της ιστορίας και τα ενώσεις, βγαίνει μια γραμμή με τρία κομμάτια. Χωρίς εικόνα, η περιγραφή της είναι αυτή:

• από το σημείο (0 s, 0 m) ως το (2 s, 8 m): ανεβαίνει,
• από το (2 s, 8 m) ως το (8 s, 8 m): είναι οριζόντια,
• από το (8 s, 8 m) ως το (10 s, 0 m): κατεβαίνει.

Αυτό ισχύει για κάθε γράφημα x–t:

• Η γραμμή ανεβαίνει: το x μεγαλώνει, το σώμα πηγαίνει προς τα δεξιά, υ > 0.
• Η γραμμή είναι οριζόντια: το x δεν αλλάζει, το σώμα είναι ακίνητο, υ = 0.
• Η γραμμή κατεβαίνει: το x μικραίνει, το σώμα πηγαίνει προς τα αριστερά, υ < 0.
• Όσο πιο απότομη είναι η γραμμή, τόσο πιο γρήγορα κινείται το σώμα.

Σκέψου: Ένα κομμάτι της γραμμής είναι κάτω από τον οριζόντιο άξονα, δηλαδή το x είναι αρνητικό. Τι σου λέει αυτό για την ταχύτητα;

Συχνό λάθος: «Η οριζόντια γραμμή σημαίνει ότι το σώμα κινείται οριζόντια.» Το σώμα κινείται πάντα πάνω στην ίδια ευθεία. Όταν η γραμμή είναι οριζόντια, η θέση δεν αλλάζει, άρα το σώμα στέκεται. Το γράφημα δεν είναι φωτογραφία της διαδρομής.

Κλίση: από το γράφημα στην ταχύτητα

Η ταχύτητα λέει πόσο αλλάζει η θέση σε κάθε δευτερόλεπτο. Το ίδιο κάνει και η κλίση της γραμμής x–t: πόσο ανεβαίνει ή κατεβαίνει η γραμμή για κάθε δευτερόλεπτο που περνά. Για να τη βρεις, διαλέγεις δύο σημεία της ίδιας ευθείας και διαβάζεις τις τιμές τους.

υ = Δx διά Δt

όπου Δx = x₂ − x₁ η μετατόπιση (η αλλαγή της θέσης, σε m) και Δt = t₂ − t₁ ο χρόνος που πέρασε (σε s). Το σημείο 1 είναι το πρώτο και το σημείο 2 το δεύτερο, με t₂ > t₁.

Το πρόσημο του Δx δίνει το πρόσημο της ταχύτητας. Στο πρώτο κομμάτι της ιστορίας: Δx = 8 − 0 = 8 m και Δt = 2 − 0 = 2 s, άρα υ = 4 m/s. Σωστά, είναι η ταχύτητα που δώσαμε.

Συχνό λάθος: «Στο τέλος το x είναι 0, άρα η ταχύτητα είναι 0.» Η ταχύτητα δεν βγαίνει από μία τιμή της θέσης αλλά από τη διαφορά δύο τιμών. Στο παράδειγμα 1 το τελικό x είναι 0 και η ταχύτητα −4 m/s. Το ίδιο και στο ύψος της γραμμής: «Είναι στα 8 m, άρα υ = 8 m/s» είναι λάθος. Πάντα Δx διά Δt.

Και το «όσο πιο απότομη, τόσο πιο γρήγορα» βγαίνει από τον τύπο. Το σώμα Α προχωρά 6 m σε 3 s, δηλαδή 2 m/s. Το σώμα Β προχωρά 6 m σε 2 s, δηλαδή 3 m/s. Στον ίδιο χρόνο το Β διανύει περισσότερα μέτρα, οπότε η γραμμή του ανεβαίνει πιο απότομα. Για να συγκρίνεις γραμμές, χρειάζεσαι όμως τους ίδιους άξονες και την ίδια κλίμακα.

Το γράφημα ταχύτητας–χρόνου (υ–t)

Στο γράφημα υ–t ο κατακόρυφος άξονας δείχνει την ταχύτητα υ (σε m/s). Όσο η ταχύτητα μένει ίδια, το σώμα δίνει οριζόντια γραμμή στο ύψος του υ. Η ιστορία μας έχει τρία κομμάτια, άρα τρεις οριζόντιες γραμμές:

• από 0 ως 2 s: στο ύψος υ = 4 m/s, πάνω από τον άξονα,
• από 2 ως 8 s: στο ύψος υ = 0, πάνω στον άξονα του χρόνου,
• από 8 ως 10 s: στο ύψος υ = −4 m/s, κάτω από τον άξονα.

Το γράφημα διαβάζεται έτσι: πάνω από τον άξονα το σώμα πηγαίνει προς τα δεξιά, πάνω στον άξονα στέκεται, κάτω από τον άξονα πηγαίνει προς τα αριστερά. Στην προσομοίωση η ταχύτητα αλλάζει αμέσως από το ένα κομμάτι στο άλλο. Στην πραγματικότητα κάθε αλλαγή παίρνει λίγο χρόνο, αλλά εδώ τον αγνοούμε.

Γρήγορος έλεγχος: Στο x–t ένα σώμα δίνει πρώτα μια απότομη ανηφορική ευθεία και μετά μια λιγότερο απότομη ανηφορική ευθεία. Ποιο κομμάτι είναι ψηλότερα στο υ–t;

Συχνό λάθος: «Η γραμμή στα −4 m/s σημαίνει ότι το σώμα είναι στη θέση −4 m.» Στο υ–t το ύψος είναι η ταχύτητα, όχι η θέση. Το γράφημα υ–t δεν λέει πού βρίσκεται το σώμα. Δύο σώματα που ξεκινούν από διαφορετικά σημεία αλλά κινούνται με την ίδια ταχύτητα έχουν το ίδιο υ–t.

Το εμβαδόν κάτω από τη γραμμή υ–t

Στο πρώτο κομμάτι της ιστορίας η γραμμή υ–t είναι στο ύψος 4 m/s και κρατά 2 s. Μαζί με τον άξονα του χρόνου κλείνει ένα ορθογώνιο με ύψος 4 και πλάτος 2. Το εμβαδόν του είναι 4 · 2 = 8, και ξέρουμε ότι η μετατόπιση του κομματιού είναι 8 m. Δεν είναι σύμπτωση: η μετατόπιση είναι ύψος επί πλάτος.

Δx = υ · Δt

Το υ είναι το ύψος, το Δt το πλάτος και το Δx το εμβαδόν του ορθογωνίου. Το εμβαδόν ανάμεσα στη γραμμή και τον άξονα του χρόνου είναι η μετατόπιση. Αν το ορθογώνιο είναι κάτω από τον άξονα, το υ είναι αρνητικό και η μετατόπιση αρνητική: το σώμα πήγε αριστερά.

Στην ιστορία τα τρία εμβαδά είναι 8 m, 0 m (το ύψος είναι 0) και −8 m. Το άθροισμα είναι Δx = 8 + 0 − 8 = 0: το αμαξάκι τελειώνει εκεί που ξεκίνησε.

Συχνό λάθος: «Αφού η μετατόπιση είναι 0, το αμαξάκι δεν κινήθηκε.» Κινήθηκε: πήγε 8 m δεξιά και ξαναγύρισε 8 m αριστερά, δηλαδή διάνυσε συνολικά 16 m. Μετατόπιση 0 σημαίνει ότι η τελική θέση είναι ίδια με την αρχική, όχι ότι δεν έγινε κίνηση. Το ίδιο είπαμε στην §2.2 για το μήκος της διαδρομής και τη μετατόπιση.

Από την ιστορία στα δύο γραφήματα

Όταν ξέρεις μια ιστορία, φτιάχνεις και τα δύο γραφήματα με τα ίδια βήματα:

1. Χώρισε την ιστορία σε κομμάτια όπου η ταχύτητα μένει ίδια.
2. Στο υ–t ζωγράφισε για κάθε κομμάτι μια οριζόντια γραμμή στο ύψος του υ, με πλάτος Δt.
3. Βρες τη μετατόπιση κάθε κομματιού από τον τύπο Δx = υ · Δt και πρόσθεσέ τη στη θέση όπου ξεκίνησε το κομμάτι. Έτσι βρίσκεις τη θέση στο τέλος κάθε κομματιού.
4. Στο x–t βάλε τα σημεία (χρόνος, θέση) στα σημεία που αλλάζει το κομμάτι και ένωσέ τα με ευθείες.

Και πίσω: από το γράφημα στην ιστορία

Το ίδιο δουλεύει και ανάποδα. Έστω ότι ένα γράφημα x–t ενώνει με ευθείες τα σημεία (0 s, 2 m), (4 s, 10 m), (7 s, 10 m) και (10 s, 4 m). Για κάθε κομμάτι κοιτάς αν ανεβαίνει, μένει οριζόντιο ή κατεβαίνει, και βρίσκεις την ταχύτητα από τον τύπο υ = Δx διά Δt:

• 0–4 s: ανεβαίνει κατά 8 m σε 4 s, άρα υ = +2 m/s.
• 4–7 s: οριζόντιο, άρα υ = 0.
• 7–10 s: κατεβαίνει κατά 6 m σε 3 s, άρα υ = −2 m/s.

Η ιστορία με λόγια: ξεκινά 2 m δεξιά από το σημείο αναφοράς, πηγαίνει προς τα δεξιά με 2 m/s για 4 s ως τα 10 m, στέκεται 3 s και μετά γυρίζει προς τα αριστερά με 2 m/s για 3 s, ως τα 4 m.

Σειρά σου: Ένα γράφημα x–t έχει σημεία (0 s, 10 m), (4 s, 10 m) και (8 s, 2 m), ενωμένα με ευθείες. Πες την ιστορία και βρες την ταχύτητα στο δεύτερο κομμάτι.

Κυκλική διαδρομή: ίδιο μέτρο, διαφορετική ταχύτητα

Ένα αυτοκίνητο κινείται σε μια κυκλική πλατεία και το ταχύμετρό του δείχνει διαρκώς 60 km/h. Είναι σταθερή η ταχύτητά του;

Το ταχύμετρο δείχνει μόνο το μέτρο της ταχύτητας, δηλαδή πόσο γρήγορα κινείται το αυτοκίνητο. Η ταχύτητα όμως έχει και κατεύθυνση: προς τα πού πηγαίνει το αυτοκίνητο. Σε κάθε σημείο της πλατείας η ταχύτητα δείχνει προς τα εκεί που πηγαίνει το αυτοκίνητο, δηλαδή κατά μήκος του δρόμου. Καθώς ο δρόμος στρίβει, η κατεύθυνση αλλάζει συνέχεια.

Μετατροπή: 1 m/s = 3,6 km/h. Άρα:

60 km/h = 60 διά 3,6 m/s ≈ 16,7 m/s

Αν ζωγραφίσεις την ταχύτητα με βέλος, στην πλατεία όλα τα βέλη έχουν το ίδιο μήκος (16,7 m/s), αλλά δείχνουν σε διαφορετικές κατευθύνσεις: το βέλος στρίβει μαζί με το αυτοκίνητο. Για να είναι η ταχύτητα σταθερή, πρέπει να μένουν σταθερά και το μέτρο και η κατεύθυνση. Αν αλλάζει το ένα από τα δύο, ή και τα δύο, η ταχύτητα μεταβάλλεται.

Γι' αυτό τα γραφήματα αυτής της σελίδας είναι για κίνηση σε ευθεία. Εκεί υπάρχουν μόνο δύο κατευθύνσεις, δεξιά και αριστερά, και μας φτάνει το πρόσημο. Στον κύκλο η κατεύθυνση παίρνει κάθε τιμή, και το πρόσημο δεν αρκεί.

Σειρά σου: Το ταχύμετρο δείχνει διαρκώς 90 km/h. Πόσα m/s είναι; Βάλε δύο βέλη ταχύτητας σε δύο σημεία της πλατείας: τι ίδιο και τι διαφορετικό έχουν;

Συχνό λάθος: «Το ταχύμετρο δείχνει σταθερό αριθμό, άρα η ταχύτητα είναι σταθερή.» Σταθερός είναι μόνο ο αριθμός, δηλαδή το μέτρο. Η ταχύτητα είναι σταθερή μόνο όταν δεν αλλάζει ούτε η κατεύθυνσή της. Σε μια στροφή αλλάζει, και το ταχύμετρο δεν μπορεί να το δείξει.

Επιπλέον — για αργότερα

Εδώ όλα τα κομμάτια του x–t είναι ευθείες. Αν σε ένα γράφημα x–t η γραμμή είναι καμπύλη, η κλίση αλλάζει από σημείο σε σημείο, δηλαδή η ταχύτητα αλλάζει. Αυτό θα το μελετήσεις σε επόμενες τάξεις.

Δραστηριότητες

1. Πρόβλεψη: Απάντησε στην κάρτα «Πρόβλεψη» για το ακίνητο σώμα. Διάλεξε «Φτιάξε διαδρομή», πάτησε «Πήγαινε, στάσου, γύρνα» και «Έναρξη». Πρόσεξε τα 6 s που το αμαξάκι μένει ακίνητο: τι κάνει τότε η γραμμή στο x–t και τι στο υ–t; Τι δείχνουν οι ενδείξεις x και υ;
2. Φτιάξε δικές σου διαδρομές. (α) Βάλε υ₁ = 2 με Δt₁ = 4, υ₂ = 6 με Δt₂ = 4 και Δt₃ = 0. Πριν πατήσεις «Έναρξη», πρόβλεψε ποιο κομμάτι θα είναι πιο απότομο στο x–t και πού θα τελειώσει το αμαξάκι. (β) Άλλαξε το υ₂ σε −6 και ξαναπροσπάθησε. Τι αλλάζει στο x–t και τι στο υ–t; (γ) Πάτησε «Δρομέας 100 m». Διάβασε από το x–t τα Δx και Δt, βρες την ταχύτητα και σύγκρινέ την με το ύψος της γραμμής στο υ–t.
3. Διάβασε το γράφημα. Διάλεξε «Διάβασε το γράφημα». Διάβασε τη στιγμή που είναι σημειωμένη και βρες την ταχύτητα εκείνης της στιγμής: πόσα μέτρα αλλάζει το x σε πόσα δευτερόλεπτα; Γράψε την απάντηση με το πρόσημό της. Όταν πετύχεις, δες το γράφημα υ–t που εμφανίζεται. Δοκίμασε τρεις φορές με «Νέα άσκηση». Τι μήνυμα παίρνεις αν γράψεις σωστό αριθμό με λάθος πρόσημο;
4. Κυκλική διαδρομή. Διάλεξε «Κυκλική διαδρομή», βάλε 30, μετά 60 και μετά 90 km/h και πάτησε «Έναρξη». Ποια ένδειξη μένει ίδια και ποια αλλάζει; Πόσο μεγάλο είναι το βέλος της ταχύτητας και προς τα πού δείχνει σε κάθε τέταρτο του κύκλου; Είναι σταθερή η ταχύτητα;
5. Στην αυλή του σχολείου. Βρες έναν τοίχο με ελεύθερο ευθύγραμμο χώρο 10 m μπροστά του. Ο τοίχος είναι το σημείο αναφοράς και θετική κατεύθυνση είναι η απομάκρυνση από τον τοίχο. Ξεκίνα 10 m από τον τοίχο. Περπάτα προς τον τοίχο, σταμάτα λίγο μπροστά του για μερικά δευτερόλεπτα και γύρνα πίσω. Περπάτα, μην τρέχεις. Ένας φίλος με χρονόμετρο φωνάζει «τώρα» κάθε 2 s και σημειώνει με κιμωλία πού βρίσκεσαι. Μετά μέτρησε με μετροταινία την απόσταση κάθε σημαδιού από τον τοίχο και γράψε πίνακα (t, x). Σχεδίασε το γράφημα x–t σε χαρτί. Πότε ήταν η γραμμή οριζόντια; Πού ήταν πιο απότομη; Πόση ήταν η ταχύτητά σου εκεί; Δεν θα βγει τέλεια ευθεία, γιατί κανείς δεν περπατά με απόλυτα σταθερή ταχύτητα, οπότε ένωσε τα σημεία με απλή γραμμή.

Ασκήσεις

Λύσε κάθε άσκηση πρώτα με το χέρι και μετά έλεγξε, όπου γίνεται, στην προσομοίωση.

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Ένα γράφημα x–t ενώνει με ευθείες τα σημεία (0 s, 6 m), (3 s, 0 m), (5 s, 0 m) και (9 s, 8 m). Πες με λόγια την ιστορία: για κάθε κομμάτι, αν το σώμα πηγαίνει δεξιά, αριστερά ή στέκεται.

   Λύση

   Το σώμα ξεκινά 6 m δεξιά από το σημείο αναφοράς. Στα πρώτα 3 s η γραμμή κατεβαίνει, άρα πηγαίνει προς τα αριστερά ως το σημείο αναφοράς (x = 0). Για 2 s η γραμμή είναι οριζόντια, άρα στέκεται εκεί. Στα τελευταία 4 s η γραμμή ανεβαίνει, άρα πηγαίνει προς τα δεξιά ως τα 8 m. Έλεγχος με τις ταχύτητες: υ = 0 − 6 διά 3 = −2 m/s στο πρώτο κομμάτι, 0 στο δεύτερο και υ = 8 − 0 διά 4 = +2 m/s στο τρίτο.

2. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Μια ευθεία γραμμή x–t περνά από τα σημεία (2 s, 14 m) και (6 s, 2 m). Βρες την ταχύτητα με το πρόσημό της και πες προς ποια κατεύθυνση κινείται το σώμα.

   Λύση

   Δx = 2 − 14 = −12 m και Δt = 6 − 2 = 4 s. Άρα υ = −12 m διά 4 s = −3 m/s. Το πρόσημο είναι αρνητικό, άρα το σώμα κινείται προς τα αριστερά, και η γραμμή κατεβαίνει.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένα σώμα ξεκινά από x = 0 και κάνει: υ = 4 m/s για 3 s, ακινησία για 2 s και υ = −6 m/s για 3 s. (α) Περίγραψε το γράφημα υ–t. (β) Βρες τη μετατόπιση κάθε κομματιού. (γ) Πού βρίσκεται στο τέλος;

   Λύση

   (α) Οριζόντια γραμμή στο ύψος +4 από 0 ως 3 s, γραμμή πάνω στον άξονα από 3 ως 5 s και οριζόντια γραμμή στο ύψος −6, κάτω από τον άξονα, από 5 ως 8 s. (β) Δx₁ = 4 · 3 = 12 m, Δx₂ = 0, Δx₃ = (−6) · 3 = −18 m. (γ) Δx = 12 + 0 − 18 = −6 m, άρα στο τέλος είναι στη θέση x = −6 m, 6 m αριστερά από το σημείο αναφοράς.

4. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ένα αυτοκίνητο κινείται σε κυκλική πλατεία και το ταχύμετρο δείχνει διαρκώς 36 km/h. Ο Άρης λέει: «Η ταχύτητα είναι σταθερή, αφού το ταχύμετρο δεν αλλάζει.» (α) Πόσα m/s είναι τα 36 km/h; (β) Έχει δίκιο ο Άρης; Δικαιολόγησε.

   Λύση

   (α) 36 διά 3,6 = 10 m/s. (β) Όχι. Σταθερό μένει το μέτρο της ταχύτητας, 10 m/s. Η κατεύθυνση όμως αλλάζει συνέχεια, γιατί ο δρόμος στρίβει. Όταν αλλάζει η κατεύθυνση, αλλάζει η ταχύτητα, ακόμη κι αν το ταχύμετρο δείχνει τον ίδιο αριθμό.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Στον ίδιο ευθύγραμμο δρόμο, το σώμα Α πηγαίνει από x = 0 τη στιγμή 0 s ως x = 20 m τη στιγμή 10 s. Το σώμα Β πηγαίνει από x = 20 m τη στιγμή 0 s ως x = 0 τη στιγμή 10 s. Και οι δύο γραμμές x–t είναι ευθείες. (α) Βρες τις ταχύτητες. (β) Ποια στιγμή και σε ποια θέση τέμνονται οι γραμμές, και τι σημαίνει αυτό; (γ) Έχουν την ίδια ταχύτητα;

   Λύση

   (α) υ_Α = 20 m διά 10 s = +2 m/s και υ_Β = −20 m διά 10 s = −2 m/s. (β) Τη στιγμή 5 s το Α είναι στα 2 · 5 = 10 m και το Β στα 20 − 2 · 5 = 10 m. Οι γραμμές τέμνονται στο σημείο (5 s, 10 m): τα δύο σώματα βρίσκονται στην ίδια θέση την ίδια στιγμή, δηλαδή συναντιούνται. (γ) Έχουν το ίδιο μέτρο ταχύτητας, 2 m/s, αλλά αντίθετες κατευθύνσεις. Άρα οι ταχύτητές τους δεν είναι ίδιες.