Προσομοιώσεις · Β΄ Γυμνασίου · Μηχανική · Κεφ. 2 · §2.1

Θέση και μετατόπιση

Θεωρία

Θέση: πού βρίσκεται το σώμα

Για να βρούμε τη θέση ενός σώματος που κινείται σε ευθεία, απλώνουμε πάνω στη γραμμή μια ταινία μέτρησης, όπως αυτή της προσομοίωσης. Διαλέγουμε ένα σημείο της, το 0, και το λέμε σημείο αναφοράς. Τα σώματα τα σκεφτόμαστε σαν κουκκίδες πάνω στην ταινία.

Η θέση x ενός σώματος λέει πόσο μακριά από το σημείο αναφοράς βρίσκεται και σε ποια πλευρά του. Συμφωνούμε ότι δεξιά από το σημείο αναφοράς βάζουμε + και αριστερά −. Το πρόσημο λέει την πλευρά. Ο αριθμός λέει πόσο μακριά. Στο S.I. η θέση μετριέται σε μέτρα (m).

Παράδειγμα: σε έναν ευθύγραμμο δρόμο το σημείο αναφοράς είναι ένας στύλος. Ένα δέντρο 8 m δεξιά από τον στύλο έχει θέση x = +8 m. Ένας πάγκος 3 m αριστερά του στύλου έχει θέση x = −3 m. Ο ίδιος ο στύλος έχει x = 0.

Σκέψου: Ένα σώμα έχει θέση x = 0. Πού βρίσκεται;

Συχνό λάθος: «Το πλην σημαίνει ότι το σώμα είναι λιγότερο ή πιο πίσω.» Το πλην δείχνει μόνο ότι το σώμα είναι αριστερά από το σημείο αναφοράς. Ένα σώμα στη θέση x = −5 m απέχει από το σημείο αναφοράς περισσότερο από ένα σώμα στη θέση x = +2 m: 5 m αντί για 2 m.

Το σημείο αναφοράς το διαλέγουμε εμείς

Ο στύλος δεν είναι η μοναδική επιλογή. Θα μπορούσαμε να μετρήσουμε από το δέντρο. Τότε το δέντρο έχει x = 0, ο στύλος είναι 8 m αριστερά του, άρα x = −8 m, και ο πάγκος 11 m αριστερά του, άρα x = −11 m.

Τα σώματα και ο δρόμος είναι ίδια. Άλλαξε μόνο το σημείο από το οποίο μετράμε, και άλλαξαν όλες οι θέσεις. Το ίδιο γίνεται στους εθνικούς δρόμους: οι πινακίδες με τα χιλιόμετρα μετράνε από την αρχή του δρόμου, αλλά εσύ μπορείς να διαλέξεις ως σημείο αναφοράς το 40ό χιλιόμετρο. Τότε ένα αυτοκίνητο στο 47ο χιλιόμετρο έχει θέση x = +7 km.

Διαλέγουμε και ποια πλευρά είναι θετική. Εδώ θα είναι πάντα η δεξιά, όπως στην προσομοίωση. Στην ταινία της προσομοίωσης οι αριθμοί δείχνουν τη θέση x από το Ο, οπότε το Ο έχει πάντα το 0.

Η επιλογή του σημείου αναφοράς δεν είναι μόνο θέμα βολικών αριθμών. Καθισμένος στην καρέκλα σου, η θέση σου ως προς την τάξη δεν αλλάζει καθόλου. Ως προς τον Ήλιο όμως αλλάζει κατά 30 χιλιόμετρα περίπου κάθε δευτερόλεπτο, γιατί η Γη ταξιδεύει γύρω του. Και τα δύο είναι σωστά ταυτόχρονα. Το «κάθεσαι ακίνητος» δεν είναι ολόκληρη πρόταση στη Φυσική· η ολόκληρη πρόταση είναι «κάθεσαι ακίνητος ως προς την τάξη».

Μετατόπιση: πόσο και προς τα πού άλλαξε η θέση

Ένα σώμα κινείται όταν αλλάζει η θέση του. Η αλλαγή της θέσης λέγεται μετατόπιση. Για να τη βρεις χρειάζεσαι δύο θέσεις: την αρχική x₁ και την τελική x₂.

Δx = x₂ − x₁

όπου Δx η μετατόπιση, x₂ η τελική θέση και x₁ η αρχική θέση, όλα σε m. Το γράμμα Δ («δέλτα») στη φυσική σημαίνει «μεταβολή», δηλαδή τελικό μείον αρχικό. Το Δx είναι ένα σύμβολο και όχι γινόμενο του Δ με το x.

Το πρόσημο του Δx δείχνει την κατεύθυνση: + όταν το σώμα πήγε δεξιά, − όταν πήγε αριστερά. Ο αριθμός δείχνει πόσα μέτρα μετακινήθηκε. Παράδειγμα: από x₁ = 2 m σε x₂ = 5 m έχουμε Δx = 5 − 2 = +3 m, δηλαδή 3 m δεξιά. Από τα 5 m στα 2 m θα ήταν Δx = 2 − 5 = −3 m, δηλαδή 3 m αριστερά.

Ένα μέγεθος που χρειάζεται και αριθμό και κατεύθυνση, όπως η θέση και η μετατόπιση, λέγεται διανυσματικό. Πάνω σε ευθεία, την κατεύθυνση την δίνει το πρόσημο.

Πρόβλεψε: Ένα σώμα πηγαίνει από x₁ = +6 m σε x₂ = +1 m. Η μετατόπιση θα είναι θετική ή αρνητική;

Συχνό λάθος: γράφεις Δx = x₁ − x₂, αρχική μείον τελική. Το μέτρο βγαίνει σωστό αλλά το πρόσημο ανάποδο, άρα ο κινούμενος φαίνεται να πήγε προς την αντίθετη πλευρά. Θυμήσου «τελική μείον αρχική» και κάνε έλεγχο: αν το σώμα πήγε δεξιά, το Δx πρέπει να βγει θετικό.

Απόσταση: μόνο πόσο, όχι προς τα πού

Στην καθημερινή ζωή λέμε «το σχολείο απέχει 500 m» και δεν λέμε προς τα πού. Αυτό είναι η απόσταση ανάμεσα σε δύο σημεία: πόσο μακριά είναι, χωρίς κατεύθυνση. Την παίρνουμε από τη μετατόπιση αν αγνοήσουμε το πρόσημο. Το σύμβολο |Δx| σημαίνει την τιμή του Δx χωρίς το πρόσημο.

απόσταση = |Δx|

Αν Δx = +3 m ή Δx = −3 m, η απόσταση είναι και στις δύο περιπτώσεις 3 m. Η απόσταση δεν είναι ποτέ αρνητική. Τα τρία μεγέθη που είδαμε διαφέρουν:

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: Ποιο από τα τρία μεγέθη μπορεί να είναι αρνητικό, και ποιο όχι;

Συχνό λάθος: γράφεις «η απόσταση είναι −7 m». Το −7 m είναι μετατόπιση. Ένα μήκος δεν μπορεί να είναι αρνητικό: αν βγήκε αρνητικό, πάρε την τιμή χωρίς το πρόσημο.

Άλλο σημείο αναφοράς, ίδια μετατόπιση

Ας ξαναδούμε το παράδειγμα 1. Πάνω στην ταινία το Α είναι στα 4 m, το Β στα 15 m και το Ο στα 8 m. Μετακινούμε το Ο 5 m προς τα αριστερά, στα 3 m. Οι θέσεις γίνονται x_Α = 4 − 3 = +1 m και x_Β = 15 − 3 = +12 m. Η μετατόπιση:

Δx = 12 − 1 = +11 m

Οι θέσεις άλλαξαν, η μετατόπιση όχι. Και οι δύο θέσεις μεγάλωσαν κατά τον ίδιο αριθμό, 5 m. Στην αφαίρεση αυτός ο αριθμός φεύγει: αν το σημείο αναφοράς αλλάξει τις θέσεις κατά d (το d μπορεί να είναι και αρνητικό), τότε

Δx′ = (x₂ + d) − (x₁ + d) = x₂ − x₁ = Δx

Με λόγια: η μετατόπιση δείχνει πόσο απέχουν δύο θέσεις και προς ποια πλευρά, και αυτό δεν εξαρτάται από το πού αρχίζουμε να μετράμε. Όπως στον ανελκυστήρα: από τον 2ο όροφο στον 5ο ανεβαίνεις 3 ορόφους. Αν το κτίριο αριθμούσε τους ορόφους ξεκινώντας από το υπόγειο, θα πήγαινες από τον 3ο στον 6ο, πάλι 3 ορόφους.

Μία προϋπόθεση: και στις δύο μετρήσεις η θετική κατεύθυνση πρέπει να είναι η ίδια, εδώ προς τα δεξιά.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: Ποιο μέγεθος μένει ίδιο όταν αλλάζεις το σημείο αναφοράς, η θέση ή η μετατόπιση;

Επιπλέον — για αργότερα

Αν αλλάξεις την ίδια την κατεύθυνση που θεωρείς θετική, το πρόσημο του Δx αλλάζει, ενώ η απόσταση μένει ίδια. Επίσης η απόσταση |Δx| μετράει τον ευθύ δρόμο ανάμεσα στην αρχική και την τελική θέση. Αν ένα σώμα πάει και γυρίσει πίσω, η διαδρομή που έκανε είναι μεγαλύτερη από αυτήν. Αυτό θα το δούμε στην επόμενη ενότητα, για την ταχύτητα.

Δραστηριότητες

1. Πρόβλεψη: Απάντησε στην κάρτα «Πρόβλεψη»: το Α είναι στο x = −4 m και το Β στο x = +7 m. Τι θα γίνει με το Δx αν μετακινήσεις το Ο; Μετά σύρε το Ο πάνω στην ταινία και παρακολούθησε τα x_Α, x_Β και Δx. Ποια αλλάζουν και ποιο όχι;
2. Πάτησε το εικονίδιο επαναφοράς. Οι ρυθμιστές δείχνουν τη θέση πάνω στην ταινία, από 0 έως 20 m, και όχι το x. Βάλε το Ο στο 0 (ρυθμιστής «Ο στο») και γράψε τα x_Α, x_Β και Δx. Μετά βάλε το Ο στο 18, δεξιά και από τα δύο σώματα. Τι πρόσημο έχουν τώρα οι θέσεις; Το Δx είναι ίδιο;
3. Άλλαξε τις θέσεις των Α και Β, ώστε το Α να είναι στο 15 και το Β στο 4. Τι πρόσημο έχει το Δx; Πόση είναι η «Απόσταση Α–Β»; Ποια πλευρά του Α είναι το Β; Δοκίμασε και να βάλεις το Α και το Β στο ίδιο σημείο: πόσο βγαίνει το Δx;
4. Τσέκαρε το «Δεύτερο σημείο αναφοράς». Βάλε το Ο και το Ο′ σε δύο διαφορετικά σημεία. Σύγκρινε τα x_Α και x′_Α, και το Δx με το Δx′. Σε ποιες περιπτώσεις έχουν το ίδιο πρόσημο οι θέσεις; Και το Δx;
5. Στο θρανίο σου: Με μια μετροταινία ή έναν χάρακα μέτρησε τη θέση μιας γόμας από την αριστερή άκρη Α του θρανίου (θετική προς τα δεξιά): x₁. Μέτρησε και τη θέση της από τη δεξιά άκρη Β, με το ίδιο θετικό προς τα δεξιά. Αφού η γόμα είναι αριστερά από το Β, αυτή η θέση θα βγει αρνητική: x′₁. Μετακίνησε τη γόμα δεξιά κατά περίπου 10 cm και μέτρησε ξανά τα x₂ και x′₂. Υπολόγισε τα Δx και Δx′ και σύγκρινέ τα. Τι θα συνέβαινε αν έβαζες θετικούς αριθμούς για τις αποστάσεις από το Β;

Ασκήσεις

Λύσε κάθε άσκηση πρώτα με το χέρι και μετά έλεγξε, όπου γίνεται, στην προσομοίωση.

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Το σημείο αναφοράς είναι ο Ο και θετική είναι η δεξιά κατεύθυνση. Ένας πάγκος είναι 5 m δεξιά από το Ο και ένας κάδος 2 m αριστερά. Ποια είναι η θέση του καθενός; Ποιο από τα δύο είναι πιο κοντά στο Ο;

   Λύση

   Πάγκος: x = +5 m. Κάδος: x = −2 m. Πιο κοντά στο Ο είναι ο κάδος, γιατί απέχει 2 m ενώ ο πάγκος 5 m, παρότι το −2 είναι «μικρότερος» αριθμός. Για την απόσταση μετράει η τιμή χωρίς το πρόσημο.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Τι πρόσημο έχει το Δx όταν το σώμα κινείται προς τα δεξιά; Όταν κινείται προς τα αριστερά; Πόσο είναι το Δx όταν το σώμα μένει στην ίδια θέση;

   Λύση

   Προς τα δεξιά: θετικό (+). Προς τα αριστερά: αρνητικό (−). Αν μένει στην ίδια θέση, x₂ = x₁, άρα Δx = 0.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένα καροτσάκι πηγαίνει από τη θέση x₁ = −8 m στη θέση x₂ = −3 m. Βρες τη μετατόπιση, πες προς τα πού πήγε και πόση απόσταση διένυσε από την αρχική στην τελική θέση.

   Λύση

   Δx = (−3) − (−8) = −3 + 8 = +5 m. Πήγε 5 m προς τα δεξιά και η απόσταση είναι 5 m. Οι δύο θέσεις είναι αρνητικές, αλλά το Δx είναι θετικό: το καροτσάκι πλησίασε το σημείο αναφοράς από τα αριστερά.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένα θρανίο έχει μήκος 100 cm. Με σημείο αναφοράς την αριστερή άκρη Α (θετική προς τα δεξιά) μια γόμα πάει από x₁ = 12 cm σε x₂ = 40 cm. Βρες το Δx. Μετά βρες τις θέσεις x′₁ και x′₂ με σημείο αναφοράς τη δεξιά άκρη Β (πάλι θετική προς τα δεξιά) και το Δx′. Τι παρατηρείς;

   Λύση

   Δx = 40 − 12 = +28 cm. Η άκρη Β είναι στα 100 cm από την Α, άρα x′₁ = 12 − 100 = −88 cm και x′₂ = 40 − 100 = −60 cm. Τότε Δx′ = (−60) − (−88) = −60 + 88 = +28 cm. Οι θέσεις είναι διαφορετικές, η μετατόπιση ίδια.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Η Άννα και ο Γιάννης κοιτάζουν το ίδιο αυτοκίνητο σε ευθύ δρόμο και μετράνε και οι δύο θετικά προς τα δεξιά. Η Άννα λέει ότι το αυτοκίνητο έχει θέση x = +15 m, ο Γιάννης ότι έχει x = −5 m. Μπορεί να έχουν και οι δύο δίκιο; Μετά το αυτοκίνητο πάει 10 m προς τα δεξιά. Ποιες θέσεις θα πει τώρα ο καθένας και ποια μετατόπιση;

   Λύση

   Ναι, μπορεί: μετράνε από διαφορετικά σημεία αναφοράς. Το σημείο του Γιάννη είναι 15 − (−5) = 20 m δεξιότερα από της Άννας. Μετά την κίνηση η Άννα λέει x = 15 + 10 = +25 m και ο Γιάννης x = −5 + 10 = +5 m. Η μετατόπιση: για την Άννα 25 − 15 = +10 m, για τον Γιάννη 5 − (−5) = +10 m. Οι θέσεις διαφωνούν, η μετατόπιση όχι.