Προσομοιώσεις · Β΄ Γυμνασίου · Μηχανική · Κεφ. 3 · §3.1

Δύναμη και ελατήριο

Θεωρία

Τι είναι δύναμη

Δύναμη λέμε το σπρώξιμο ή το τράβηγμα που ασκεί ένα σώμα σε ένα άλλο. Κάθε δύναμη έχει ένα σώμα που την ασκεί και ένα σώμα που τη δέχεται. Το πόδι σπρώχνει τη μπάλα. Το σχοινί τραβάει το κάρο. Η Γη τραβάει το μήλο προς τα κάτω. Ο μαγνήτης τραβάει το καρφί. Οι δύο πρώτες δυνάμεις ασκούνται με επαφή, οι δύο τελευταίες από απόσταση.

Μια δύναμη έχει μέγεθος και κατεύθυνση, όπως η μετατόπιση. Τη σχεδιάζουμε ως βέλος. Το βέλος ξεκινά από το σώμα που δέχεται τη δύναμη, δείχνει προς τα πού σπρώχνει ή τραβάει και έχει μήκος ανάλογο με το μέγεθός της. Το μέγεθος της δύναμης το συμβολίζουμε με F και το μετράμε σε νιούτον (N). Ένα νιούτον είναι περίπου το βάρος ενός σώματος μάζας 100 g, για παράδειγμα μιας μικρής σοκολάτας.

Σκέψου: Δύο βέλη δυνάμεων σχεδιάστηκαν στην ίδια κλίμακα: το ένα έχει μήκος 3 cm και το άλλο 6 cm. Ποια δύναμη είναι μεγαλύτερη και πόσες φορές;

Συχνό λάθος: «Η δύναμη είναι κάτι που έχει ένα σώμα μέσα του, όπως έχει μάζα.» Η δύναμη δεν αποθηκεύεται στο σώμα. Υπάρχει μόνο όσο ένα σώμα σπρώχνει ή τραβάει ένα άλλο. Γι’ αυτό, όταν μιλάς για δύναμη, λέγε πάντα ποιος την ασκεί και σε ποιον.

Τα δύο αποτελέσματα μιας δύναμης

Μια δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα μπορεί να κάνει δύο πράγματα:

1. Αλλάζει την ταχύτητά του υ. Ένα ακίνητο σώμα αρχίζει να κινείται, ένα σώμα που κινείται σταματά, πηγαίνει πιο γρήγορα ή πιο αργά, ή αλλάζει κατεύθυνση. Παράδειγμα: ο τερματοφύλακας πιάνει τη μπάλα και την ακινητοποιεί.
2. Το παραμορφώνει. Το σώμα αλλάζει σχήμα ή μέγεθος. Παράδειγμα: πιέζεις ένα σφουγγάρι ή τεντώνεις ένα λάστιχο.

Συχνά συμβαίνουν και τα δύο μαζί. Όταν κλωτσάς μια μπάλα, η ταχύτητά της αλλάζει και για μια στιγμή η μπάλα πιέζεται και παραμορφώνεται.

Η παραμόρφωση είναι ελαστική όταν το σώμα επιστρέφει στο σχήμα του μόλις πάψει η δύναμη, όπως το ελατήριο, το λάστιχο ή η μπάλα. Είναι πλαστική όταν το σώμα μένει παραμορφωμένο, όπως η πλαστελίνη.

Σκέψου: Μια ρακέτα χτυπά ένα μπαλάκι του τένις. Ποια από τα δύο αποτελέσματα της δύναμης βλέπεις;

Επιμήκυνση του ελατηρίου

Κρεμάμε ένα ελατήριο από ένα στήριγμα. Χωρίς φορτίο έχει το φυσικό του μήκος l₀. Όταν κρεμάσουμε ένα σώμα, το ελατήριο τεντώνεται και το μήκος του γίνεται l. Η αλλαγή του μήκους είναι η επιμήκυνση:

Δl = l − l₀

Στην προσομοίωση το μηδέν του χάρακα είναι εκεί που βρίσκεται ο δείκτης όταν δεν κρέμεται τίποτα. Έτσι ο χάρακας δείχνει κατευθείαν το Δl, σε cm.

Όταν κρεμάς ένα σώμα, το ελατήριο το τραβάει προς τα πάνω και το σώμα τραβάει το ελατήριο προς τα κάτω με δύναμη F, που είναι το βάρος του w. Το βάρος βρίσκεται από τη μάζα m:

w = m·g

με g = 10 N/kg στη Γη. Άρα κάθε 1 kg ζυγίζει 10 N και κάθε 100 g, δηλαδή 0,1 kg, ζυγίζει 1 N. (Στην πραγματικότητα το g είναι κοντά στο 9,8 N/kg, αλλά στις ασκήσεις παίρνουμε 10.) Για το βάρος θα μιλήσουμε αναλυτικά στην §3.6. Εδώ το χρειαζόμαστε μόνο για να ξέρουμε πόσο τραβάει κάθε στάθμιο:

Η επιμήκυνση είναι ανάλογη της δύναμης

Ας κρεμάσουμε διαδοχικά 1 N, 2 N, 3 N και 4 N σε ένα «μαλακό» ελατήριο και ας μετρήσουμε την επιμήκυνση κάθε φορά:

Διπλάσια δύναμη δίνει διπλάσια επιμήκυνση, τριπλάσια δύναμη τριπλάσια επιμήκυνση. Δύο μεγέθη που έχουν αυτή τη σχέση λέγονται ανάλογα: αν το ένα πολλαπλασιαστεί με έναν αριθμό, το άλλο πολλαπλασιάζεται με τον ίδιο αριθμό. Το πηλίκο τους μένει σταθερό. Εδώ κάθε 1 N δίνει 2 cm, δηλαδή:

F διά Δl = σταθερό

Στο γράφημα F–Δl της προσομοίωσης τα σημεία πέφτουν σε μία ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων. Αυτό είναι το σημάδι δύο ανάλογων μεγεθών: αν δεν κρεμάσεις τίποτα (F = 0), δεν υπάρχει επιμήκυνση (Δl = 0). Η ευθεία είναι πιο απότομη σε ένα πιο «σκληρό» ελατήριο, γιατί χρειάζεται μεγαλύτερη δύναμη για την ίδια επιμήκυνση.

Στις πραγματικές μετρήσεις τα σημεία δεν πέφτουν ακριβώς πάνω στην ευθεία, γιατί ο χάρακας διαβάζεται με ακρίβεια 0,1 cm. Τότε τραβάμε την ευθεία που περνά όσο πιο κοντά γίνεται από όλα τα σημεία.

Πρόβλεψε: Στο παραπάνω ελατήριο κρεμάς 5 N. Πόση θα είναι η επιμήκυνση;

Συχνό λάθος: «Αν το βάρος γίνει διπλάσιο, το μήκος του ελατηρίου γίνεται διπλάσιο.» Διπλάσια γίνεται η επιμήκυνση Δl, όχι το μήκος l. Αν l₀ = 10 cm και Δl = 2 cm, το μήκος είναι 12 cm. Με διπλάσια δύναμη η επιμήκυνση γίνεται 4 cm και το μήκος 14 cm, όχι 24 cm.

Δυναμόμετρο: ελατήριο με κλίμακα

Επειδή η επιμήκυνση είναι ανάλογη της δύναμης, ένα ελατήριο γίνεται όργανο μέτρησης. Φτιάχνουμε την κλίμακα του ως εξής:

1. Χωρίς φορτίο σημαδεύουμε τη θέση του δείκτη και γράφουμε εκεί 0 N.
2. Κρεμάμε σταθμά που ζυγίζουν 1 N και σημαδεύουμε πού σταματά ο δείκτης. Γράφουμε 1 N.
3. Κρεμάμε 2 N και σημαδεύουμε τη θέση, 2 N.
4. Οι αποστάσεις 0–1 N και 1–2 N είναι ίσες, γιατί η επιμήκυνση είναι ανάλογη της δύναμης. Χωρίζουμε λοιπόν την κλίμακα σε ίσα μέρη και τη συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο.

Αυτό λέγεται βαθμονόμηση. Μετά, για να μετρήσεις μια άγνωστη δύναμη, π.χ. το βάρος ενός σώματος, το κρεμάς, περιμένεις να ηρεμήσει ο δείκτης και διαβάζεις τον αριθμό που δείχνει. Η δύναμη πρέπει να τραβάει κατά μήκος του ελατηρίου και το βάρος να μην ξεπερνά το μέγιστο της κλίμακας.

Η ακρίβεια εξαρτάται από το ελατήριο. Ένα μαλακό ελατήριο επιμηκύνεται πολύ και για μικρές δυνάμεις, οπότε οι υποδιαιρέσεις της κλίμακας απέχουν πολύ και το διάβασμα είναι καλύτερο. Ένα σκληρό ελατήριο επιμηκύνεται λίγο, οπότε μετράει μεγάλες δυνάμεις αλλά με λιγότερη λεπτομέρεια.

Σκέψου: Ένα δυναμόμετρο έχει σημάδι 0 N στο 0 cm και σημάδι 2 N στα 4 cm. Ο δείκτης σταματά στα 5 cm. Πόσο βάρος δείχνει;

Επιπλέον — για αργότερα

Η ανάλογη σχέση ισχύει μόνο μέχρι ένα όριο, το όριο ελαστικότητας. Αν τραβήξεις το ελατήριο πολύ περισσότερο, παραμορφώνεται πλαστικά και δεν ξαναγυρίζει στο αρχικό του μήκος. Γι’ αυτό κάθε δυναμόμετρο έχει μέγιστη δύναμη γραμμένη στην κλίμακά του και δεν πρέπει να την ξεπερνάς.

Το σταθερό πηλίκο F διά Δl δείχνει πόσο «σκληρό» είναι ένα ελατήριο: όσο μεγαλύτερο είναι, τόσο πιο σκληρό. Στο Λύκειο θα το γράψεις F = k·Δl και θα το λες νόμο του Hooke.

Δραστηριότητες

1. Πρόβλεψη: Απάντησε στην κάρτα «Πρόβλεψη»: τι γίνεται με την επιμήκυνση όταν κρεμάσεις διπλάσιο βάρος; Μετά κρέμασε διπλάσια σταθμά και έλεγξε.
2. Διάλεξε «Μελέτη ελατηρίου» και το «Μεσαίο» ελατήριο. Κρέμασε 100 g, 200 g, 300 g και 500 g και πάτησε κάθε φορά «Καταχώριση μέτρησης». Τι σχήμα έχουν τα σημεία στο γράφημα; Πόσο είναι το F / Δl στις μετρήσεις;
3. Πάτησε «×2 F» και δες την προηγούμενη κατάσταση με διακεκομμένη γραμμή. Πόσο είναι το Δl / Δl_πριν; Δοκίμασε και το «½ F».
4. Άλλαξε το ελατήριο σε «Σκληρό» και μετά σε «Μαλακό» και κάνε τις ίδιες μετρήσεις. Τα παλιά σημεία μένουν στο γράφημα ως κούφιοι κύκλοι. Ποια ευθεία είναι πιο απότομη και γιατί;
5. Διάλεξε «Δυναμόμετρο» με το «Μαλακό» ελατήριο. Κρέμασε 100 g και πάτησε «Σημάδι για αυτό το βάρος», μετά 200 g και ξανά σημάδι. Κρέμασε το άγνωστο σώμα, διάβασε το βάρος του στην κλίμακα και γράψε το. Ποια είναι η μάζα του; Δοκίμασε και με το «Σκληρό» ελατήριο: τι το κάνει πιο δύσκολο;

Ασκήσεις

Λύσε κάθε άσκηση πρώτα με το χέρι και μετά έλεγξε, όπου γίνεται, στην προσομοίωση.

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Πες τα δύο αποτελέσματα που μπορεί να έχει μια δύναμη και δώσε ένα παράδειγμα για το καθένα.

   Λύση

   Αλλάζει την ταχύτητα ενός σώματος, π.χ. η κλωτσιά βάζει σε κίνηση μια ακίνητη μπάλα. Παραμορφώνει ένα σώμα, π.χ. το πάτημα στο σφουγγάρι αλλάζει το σχήμα του.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Πιέζεις με το δάχτυλο ένα ελατήριο και ένα κομμάτι πλαστελίνη και μετά τα αφήνεις. Τι γίνεται με το καθένα; Πώς λέγεται κάθε είδος παραμόρφωσης;

   Λύση

   Το ελατήριο επιστρέφει στο αρχικό του σχήμα: ελαστική παραμόρφωση. Η πλαστελίνη μένει πατημένη: πλαστική παραμόρφωση.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένα ελατήριο επιμηκύνεται κατά 2 cm όταν το τραβάει δύναμη 1 N. Πόση είναι η επιμήκυνση με δύναμη 6 N; Ποια δύναμη το επιμηκύνει κατά 5 cm;

   Λύση

   Η επιμήκυνση είναι ανάλογη της δύναμης: Δl = 6 · 2 = 12 cm. Για 5 cm: κάθε 2 cm αντιστοιχούν σε 1 N, άρα F = 5 : 2 = 2,5 N.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένα ελατήριο έχει φυσικό μήκος 15 cm. Όταν κρεμάμε σώμα μάζας 400 g, το μήκος του γίνεται 21 cm. Βρες το βάρος του σώματος και την επιμήκυνση. Μετά βρες το μήκος του ελατηρίου με σώμα 700 g. (Πάρε g = 10 N/kg.)

   Λύση

   w = 0,4 · 10 = 4 N. Η επιμήκυνση: Δl = 21 − 15 = 6 cm, άρα 6 : 4 = 1,5 cm ανά N. Με 700 g: w = 0,7 · 10 = 7 N και Δl = 7 · 1,5 = 10,5 cm. Το μήκος είναι l = 15 + 10,5 = 25,5 cm, όχι 10,5 cm: η επιμήκυνση προστίθεται στο φυσικό μήκος.

5. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένα δυναμόμετρο έχει σημάδι 0 N στο 0 cm και σημάδι 2 N στα 5 cm. Πού σταματά ο δείκτης όταν κρεμάσεις 3 N; Ποιο βάρος έχει ένα σώμα που κάνει τον δείκτη να σταματήσει στα 8 cm;

   Λύση

   Κάθε 1 N αντιστοιχεί σε 5 : 2 = 2,5 cm. Για 3 N: 3 · 2,5 = 7,5 cm. Για 8 cm: w = 8 : 2,5 = 3,2 N.

6. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Έχεις δύο ελατήρια. Το Α επιμηκύνεται 4 cm ανά N και το Β 1 cm ανά N. Ποιο κάνει καλύτερο δυναμόμετρο για να μετρήσεις δύναμη 0,5 N; Ποιο κάνει για δύναμη 10 N, αν η κλίμακα δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από 20 cm;

   Λύση

   Για 0,5 N το Α επιμηκύνεται 0,5 · 4 = 2 cm, ενώ το Β μόνο 0,5 cm, που διαβάζεται δύσκολα. Καλύτερο είναι το Α. Για 10 N το Α θα χρειαζόταν 10 · 4 = 40 cm, πάνω από τα 20 cm της κλίμακας, ενώ το Β επιμηκύνεται 10 cm και χωρά. Κατάλληλο είναι το Β. Άρα το μαλακό ελατήριο μετράει με λεπτομέρεια μικρές δυνάμεις και το σκληρό μπορεί να μετρήσει μεγάλες.