Προσομοιώσεις · Β΄ Γυμνασίου · Μηχανική · Κεφ. 2 · §2.2

Μέση ταχύτητα και διανυσματική ταχύτητα

Θεωρία

Μέση ταχύτητα: πόσο γρήγορα κινούμαστε

Δύο δρομείς τρέχουν την ίδια διαδρομή, 100 m. Γρηγορότερος είναι αυτός που τη διανύει σε λιγότερο χρόνο. Για να συγκρίνουμε κινήσεις με διαφορετικές διαδρομές και διαφορετικούς χρόνους, ρωτάμε πόση διαδρομή κάνει το σώμα σε κάθε 1 s (ή σε κάθε 1 h).

Η μέση ταχύτητα είναι το πηλίκο της διαδρομής που έκανε το σώμα, δηλαδή του συνολικού μήκους που διάνυσε, προς τον χρόνο που χρειάστηκε:

μέση ταχύτητα = διαδρομή διά Δt

όπου Δt ο χρόνος της κίνησης (σε s ή σε h) και η διαδρομή το μήκος του δρόμου που διανύθηκε (σε m ή σε km). Η διαδρομή και ο χρόνος δεν είναι ποτέ αρνητικοί, άρα ούτε η μέση ταχύτητα είναι ποτέ αρνητική.

Το εμπορικό τρένο της ίδιας γραμμής έχει μέση ταχύτητα 58 km/h. Από τον ίδιο τύπο βγαίνει ότι η διαδρομή είναι μέση ταχύτητα επί χρόνο. Σε 5 h το εμπορικό κάνει 58 · 5 = 290 km, και έχει ακόμα 210 km μπροστά του.

Σκέψου: Η «μέση» ταχύτητα δεν σημαίνει ότι το τρένο πήγαινε συνέχεια με 100 km/h. Τι άλλο μπορεί να έκανε στη διαδρομή;

Πριν από τον Γαλιλαίο οι άνθρωποι έλεγαν απλώς ότι κάτι πάει «αργά» ή «γρήγορα». Εκείνος θεωρείται ο πρώτος που είπε: μέτρα πόσο δρόμο κάνει και σε πόσο χρόνο, και διαίρεσε. Το δύσκολο δεν ήταν ο δρόμος· ήταν ο χρόνος. Ρολόγια που να μετρούν δευτερόλεπτα δεν υπήρχαν, οπότε ο Γαλιλαίος μετρούσε άλλοτε με τους σφυγμούς του και άλλοτε με ένα «ρολόι νερού» που έφτιαξε ο ίδιος, μετρώντας το νερό που έσταζε.

Μονάδες: m/s και km/h

Στο Διεθνές Σύστημα (S.I.) η ταχύτητα μετριέται σε m/s, μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Στους δρόμους χρησιμοποιούμε συνήθως km/h, χιλιόμετρα ανά ώρα. Ο άνθρωπος που τρέχει έχει περίπου 4 m/s, δηλαδή 14,4 km/h.

Ισχύει:

1 m/s = 3,6 km/h

Ο λόγος: 1 m = 0,001 km και 1 s = 1 διά 3.600 h. Σε μία ώρα υπάρχουν 3.600 δευτερόλεπτα, οπότε σε μία ώρα το σώμα κάνει 3.600 φορές περισσότερη διαδρομή απ' όσο σε ένα δευτερόλεπτο, και 0,001 · 3.600 = 3,6.

• Από m/s σε km/h: πολλαπλασιάζεις επί 3,6. Παράδειγμα: 20 m/s = 20 · 3,6 = 72 km/h.
• Από km/h σε m/s: διαιρείς με το 3,6. Παράδειγμα: 90 km/h = 90 : 3,6 = 25 m/s.

Συχνό λάθος: μπερδεύεις αν πολλαπλασιάζεις ή διαιρείς. Κάνε έναν έλεγχο μεγέθους: ο αριθμός των km/h είναι πάντα μεγαλύτερος από τον αριθμό των m/s για την ίδια ταχύτητα (72 έναντι 20). Αν από m/s σε km/h σου βγήκε μικρότερος αριθμός, έκανες διαίρεση αντί για πολλαπλασιασμό.

Στιγμιαία ταχύτητα: το κοντέρ

Ένα αυτοκίνητο δεν κινείται με σταθερή ταχύτητα. Στη λεωφόρο πηγαίνει με 50 km/h, στο κόκκινο σταματά, μετά ξεκινά ξανά. Η ταχύτητα που δείχνει το κοντέρ αυτή τη στιγμή λέγεται στιγμιαία ταχύτητα.

Η μέση ταχύτητα ενός ταξιδιού μοιάζει με βαθμό ολόκληρου του τριμήνου: δείχνει το σύνολο, όχι κάθε διαγώνισμα ξεχωριστά. Η στιγμιαία ταχύτητα μοιάζει με έναν συγκεκριμένο βαθμό: δείχνει μία μόνο στιγμή. Για να προγραμματίσεις πόση ώρα θα κρατήσει ένα ταξίδι, χρησιμοποιείς τη μέση ταχύτητα.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: Ένα αυτοκίνητο κάνει 60 km σε 2 h, αλλά το κοντέρ έδειξε κάποια στιγμή 100 km/h. Ποια είναι η μέση ταχύτητα και ποια η στιγμιαία εκείνης της στιγμής;

Κάτι που εκπλήσσει: αν ένα αυτοκίνητο ξεκινάει σταματημένο και το ταξίδι του βγάζει μέση ταχύτητα 80 km/h, τότε κάποια στιγμή σίγουρα πήγαινε πιο γρήγορα από 80 km/h. Στην αρχή η στιγμιαία ταχύτητά του ήταν 0, μετά 10, μετά 30. Όλες αυτές είναι κάτω από το 80 και τραβάνε τον μέσο όρο προς τα κάτω. Για να βγει στο τέλος 80, πρέπει αλλού να τις αντισταθμίσει με ταχύτητες πάνω από 80.

Διαδρομή και μετατόπιση

Η διαδρομή είναι το συνολικό μήκος του δρόμου που διανύεις. Μετράει κάθε μέτρο που πάτησες, προς όποια κατεύθυνση κι αν πήγες, και δεν είναι ποτέ αρνητική.

Η μετατόπιση Δx λέει πού βρίσκεσαι στο τέλος σε σχέση με την αρχή. Βρίσκεται αν από την τελική θέση αφαιρέσεις την αρχική θέση. Πάνω σε μια ευθεία το πρόσημό της δείχνει την κατεύθυνση: + προς τα δεξιά, − προς τα αριστερά.

Δx = τελική θέση − αρχική θέση

Αν πας 20 m δεξιά και γυρίσεις 20 m αριστερά, έκανες διαδρομή 40 m, αλλά η μετατόπισή σου είναι Δx = 0 m, γιατί βρίσκεσαι εκεί που ξεκίνησες.

Η διαδρομή είναι πάντα ίση ή μεγαλύτερη από το μέτρο της μετατόπισης, δηλαδή από τον αριθμό της χωρίς το πρόσημο. Είναι ίσες μόνο όταν η κατεύθυνση δεν αλλάξει ποτέ.

Πρόβλεψε: Πηγαίνεις 30 m δεξιά και μετά 10 m αριστερά. Πόση είναι η διαδρομή και πόση η μετατόπιση;

Συχνό λάθος: «Η διαδρομή και η μετατόπιση είναι το ίδιο.» Είναι ίδιες μόνο όταν πηγαίνεις συνέχεια προς την ίδια κατεύθυνση. Αν γυρίσεις πίσω, η διαδρομή συνεχίζει να μεγαλώνει, ενώ η μετατόπιση μικραίνει.

Μέση διανυσματική ταχύτητα: με κατεύθυνση

Ας πάρουμε την ίδια ιδέα, αλλά με τη μετατόπιση αντί για τη διαδρομή. Η μέση διανυσματική ταχύτητα υ είναι το πηλίκο της μετατόπισης προς τον χρόνο:

υ = Δx διά Δt

όπου υ το γράμμα «ύψιλον», Δx η μετατόπιση (σε m ή σε km) και Δt ο χρόνος (σε s ή σε h). Έχει τις ίδιες μονάδες με τη μέση ταχύτητα, αλλά έχει και πρόσημο, γιατί η μετατόπιση έχει. Το + λέει «προς τα δεξιά» και το − «προς τα αριστερά».

Η μέση ταχύτητα και η μέση διανυσματική ταχύτητα είναι λοιπόν δύο διαφορετικά μεγέθη, και μπορεί να έχουν διαφορετική τιμή.

Συχνό λάθος: «Μέση διανυσματική ταχύτητα 0 σημαίνει ότι το αμαξάκι στεκόταν.» Όχι. Σημαίνει ότι η τελική θέση είναι ίδια με την αρχική. Το αμαξάκι μπορεί να κινούνταν όλη την ώρα.

Το πρόσημο δείχνει κατεύθυνση, όχι «λιγότερο»

Όταν λέμε ότι ένα τρένο κινείται προς την Κατερίνη, βάζουμε τη θετική φορά προς την Κατερίνη. Αν κινείται προς τη Θεσσαλονίκη, η μετατόπισή του έχει αρνητικό πρόσημο.

Συχνό λάθος: «Το −30 m/s είναι πιο αργό από το +30 m/s.» Το πρόσημο δεν λέει πόσο γρήγορα, λέει προς τα πού. Το μέτρο, δηλαδή ο αριθμός χωρίς το πρόσημο, λέει πόσο γρήγορα.

Σκέψου: Το αμαξάκι πηγαίνει 6 s προς τα δεξιά με 3 m/s και μετά συνεχίζει άλλα 4 s προς τα δεξιά με 3 m/s. Θα είναι η μέση ταχύτητα ίση με το μέτρο της μέσης διανυσματικής ταχύτητας;

Επιπλέον — για αργότερα

Στη Φυσική, ο όρος «ταχύτητα» χωρίς άλλη λέξη σημαίνει τη στιγμιαία ταχύτητα, με κατεύθυνση (το κοντέρ δείχνει μόνο πόσο γρήγορα, όχι προς τα πού). Εδώ κρατάμε δύο ξεχωριστά ονόματα, «μέση ταχύτητα» για διαδρομή διά χρόνο και «μέση διανυσματική ταχύτητα» για μετατόπιση διά χρόνο, για να μη μπερδεύονται.

Δραστηριότητες

1. Πρόβλεψη: Απάντησε στην κάρτα «Πρόβλεψη» για το αμαξάκι που πηγαίνει 20 m και επιστρέφει. Μετά πάτησε Έναρξη και δες στο τέλος τη διαδρομή, τη μετατόπιση Δx και τις δύο μέσες ταχύτητες. Ποια είναι μηδέν και ποια όχι;
2. Στο γήπεδο. Πάρε ένα χρονόμετρο και μια μετροταινία. Μέτρησε 20 m στο γήπεδο και μέτρησε τον χρόνο που χρειάζεσαι για να τα περπατήσεις. Υπολόγισε τη μέση ταχύτητά σου σε m/s και μετά σε km/h. Επανάλαβε τρέχοντας τα ίδια 20 m. Πόσες φορές μεγαλύτερη είναι η ταχύτητά σου όταν τρέχεις;
3. Στην προσομοίωση βάλε υ₁ = +4 m/s και υ₂ = +6 m/s, και Δt₁ = Δt₂ = 3 s. Πριν πατήσεις Έναρξη, υπολόγισε με το χέρι τη διαδρομή, το Δx και τις δύο μέσες ταχύτητες. Τι παρατηρείς όταν η κίνηση δεν αλλάζει ποτέ κατεύθυνση;
4. Βάλε υ₁ = +6 m/s με Δt₁ = 4 s και υ₂ = −2 m/s με Δt₂ = 6 s. Πρόβλεψε το πρόσημο του Δx, υπολόγισε και τις δύο μέσες ταχύτητες, και μετά έλεγξε με Έναρξη. Δες και τη μέση ταχύτητα σε km/h στις μετρήσεις.
5. Βρες εσύ μια διαδρομή με μέση διανυσματική ταχύτητα 0, που να μην είναι η αρχική με ±4 m/s. Χρησιμοποίησε διαφορετικές τιμές και για τους δύο χρόνους. Ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν οι δύο μετατοπίσεις των κομματιών;

Ασκήσεις

Λύσε κάθε άσκηση πρώτα με το χέρι και μετά έλεγξε, όπου γίνεται, στην προσομοίωση.

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Ένα αμαξάκι κινείται με υ = −3 m/s. Προς τα πού πηγαίνει; Μπορεί η μέση ταχύτητα (διαδρομή διά χρόνο) να είναι −3 m/s;

   Λύση

   Το πρόσημο − σημαίνει προς τα αριστερά. Η μέση ταχύτητα δεν μπορεί να είναι αρνητική, γιατί η διαδρομή και ο χρόνος δεν είναι αρνητικοί. Αν το αμαξάκι πηγαίνει συνέχεια αριστερά, η μέση ταχύτητά του είναι 3 m/s.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Μετάτρεψε: (α) 15 m/s σε km/h, (β) 108 km/h σε m/s.

   Λύση

   (α) 15 · 3,6 = 54 km/h. (β) 108 : 3,6 = 30 m/s. Έλεγχος μεγέθους: τα km/h βγαίνουν μεγαλύτερος αριθμός από τα m/s (54 από 15, και 108 από 30).

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένας ποδηλάτης κάνει 9 km σε μισή ώρα, χωρίς να αλλάξει κατεύθυνση. Βρες τη μέση ταχύτητά του σε km/h και σε m/s.

   Λύση

   Μισή ώρα είναι Δt = 0,5 h. μέση ταχύτητα = 9 km διά 0,5 h = 18 km/h. Σε m/s: 18 : 3,6 = 5 m/s.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένας δρομέας βρίσκεται στο σημείο 30 m μιας ευθείας πίστας και σε 5 s φτάνει στο σημείο 10 m. Πόση είναι η μετατόπισή του και πόση η μέση διανυσματική ταχύτητά του; Πόση είναι η μέση ταχύτητά του, αν δεν άλλαξε ποτέ κατεύθυνση;

   Λύση

   Δx = 10 − 30 = −20 m. υ = −20 m διά 5 s = −4 m/s. Το − δείχνει ότι κινείται προς τα αριστερά. Η διαδρομή είναι 20 m, άρα η μέση ταχύτητα είναι 20 m διά 5 s = 4 m/s.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ο Νίκος περπατά 60 m ανατολικά σε 40 s και γυρίζει τα ίδια 60 m δυτικά σε 20 s. Πόση είναι η διαδρομή, η μετατόπιση, η μέση ταχύτητα και η μέση διανυσματική ταχύτητα για όλο το ταξίδι; Ο Νίκος λέει «η μέση ταχύτητά μου είναι 0, γιατί γύρισα στο σημείο εκκίνησης». Έχει δίκιο;

   Λύση

   Διαδρομή: 60 + 60 = 120 m. Δt = 40 + 20 = 60 s. Μετατόπιση: 60 − 60 = 0 m. μέση ταχύτητα = 120 m διά 60 s = 2 m/s. υ = 0 m διά 60 s = 0 m/s. Ο Νίκος μπερδεύει τα δύο μεγέθη: μηδέν είναι η μέση διανυσματική ταχύτητα. Η μέση ταχύτητα είναι 2 m/s, γιατί περπάτησε συνολικά 120 m.